Calcule a seguinte integral:
integral raiza^2-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral de √(a² - x²) em relação a x. Isso envolve cálculo integral, mais especificamente integrais que incluem funções quadráticas dentro de uma raiz quadrada. Para resolver, vamos precisar usar substituição trigonométrica, que é uma técnica útil para integrais desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos facilitar a integral usando uma substituição trigonométrica. Vamos definir:
x = a sin(theta)
Isso significa que estamos expressando x em termos de seno de um ângulo θ. Agora, precisamos encontrar a derivada de x em relação a θ para substituir dx:
dx = a cos(theta) dtheta

Passo 3

Agora, vamos substituir x e dx na integral original:
integral raiza^2 - x^2 , dx = integral raiza^2 - a^2 sin^2(theta) cdot a cos(theta) , dtheta
Simplificando dentro da raiz:
raiza^2 (1 - sin^2(theta)) = raiza^2 cos^2(theta) = a cos(theta)
Então, a integral fica:
integral a cos(theta) cdot a cos(theta) , dtheta = a^2 integral cos^2(theta) , dtheta

Passo 4

Agora, precisamos integrar cos^2(theta) . Para isso, usamos a identidade trigonométrica:
cos^2(theta) = 1 + cos(2theta)2
Então, a integral se torna:
a^2 integral 1 + cos(2theta)2 , dtheta = a^22 integral (1 + cos(2theta)) , dtheta

Passo 5

Vamos integrar termo a termo:
a^22 ( integral 1 , dtheta + integral cos(2theta) , dtheta )
A integral de 1 em relação a θ é θ, e a integral de cos(2theta) é sin(2theta)2 . Então:
a^22 ( theta + sin(2theta)2 ) + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, precisamos voltar para a variável original x. Lembrando que fizemos a substituição x = a sin(theta) , então:
theta = arcsin(xa)
E usando a identidade sin(2theta) = 2sin(theta)cos(theta) :
sin(2theta) = 2 cdot xa cdot raiz1 - (xa)^2 = 2xa raiza^2 - x^2 cdot 1a = 2x raiza^2 - x^2a^2

Passo 7

Substituindo de volta na expressão integrada:
a^22 ( arcsin(xa) + 12 cdot 2x raiza^2 - x^2a^2 ) + C
Simplificando:
a^22 arcsin(xa) + x raiza^2 - x^22 + C

Resposta

A integral de raiza^2 - x^2 em relação a x é:
integral raiza^2-x^2 , dx = a^22 arcsin(xa) + x raiza^2 - x^22 + C
Onde C é a constante de integração.

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