Calcule a seguinte integral:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral de √(a² - x²) em relação a x. Isso envolve cálculo integral, mais especificamente integrais que incluem funções quadráticas dentro de uma raiz quadrada. Para resolver, vamos precisar usar substituição trigonométrica, que é uma técnica útil para integrais desse tipo.
Passo 2
Primeiro, vamos facilitar a integral usando uma substituição trigonométrica. Vamos definir:
Isso significa que estamos expressando x em termos de seno de um ângulo θ. Agora, precisamos encontrar a derivada de x em relação a θ para substituir dx:
Passo 3
Agora, vamos substituir x e dx na integral original:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, precisamos integrar
. Para isso, usamos a identidade trigonométrica:
Então, a integral se torna:
Passo 5
Vamos integrar termo a termo:
A integral de 1 em relação a θ é θ, e a integral de
é
. Então:
Onde C é a constante de integração.
Passo 6
Agora, precisamos voltar para a variável original x. Lembrando que fizemos a substituição
, então:
E usando a identidade
:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão integrada:
Simplificando:
Resposta
A integral de
em relação a x é:
Onde C é a constante de integração.