Calcule a seguinte integral definida
. Lembre-se: se
, então
e se
, então
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral definida:
. Aqui, estamos lidando com funções absolutas e integrais definidas. Para resolver, precisamos entender onde a expressão dentro do valor absoluto,
, é positiva ou negativa, porque isso afeta como vamos calcular a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar onde
muda de sinal. Para isso, igualamos a expressão a zero:
Resolvendo para
:
Então, o ponto
é onde a expressão dentro do valor absoluto muda de positiva para negativa ou vice-versa. Isso significa que precisamos dividir a integral em duas partes: de
a
e de
a
.
Passo 3
Agora, vamos analisar cada intervalo:
-
Para
: Aqui,é menor ou igual a zero. Então, o valor absoluto vira:
-
Para
: Aqui,é maior ou igual a zero. Então, o valor absoluto permanece:
Passo 4
Com isso, nossa integral original se divide em duas partes:
Vamos calcular cada uma separadamente.
Passo 5
Calculando a primeira integral:
Integrando termo a termo:
Calculando os limites:
Passo 6
Calculando a segunda integral:
Integrando termo a termo:
Calculando os limites:
Passo 7
Agora, somamos os resultados das duas integrais:
Resposta
O valor da integral definida
é 101.