Calcule a seguinte integral definida integral-10^10|1+x| d x. Lembre-se: se m >= 0, então |m|=m e se m <= 0, então |m|=-m.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: integral-10^10 |1 + x| , dx. Aqui, estamos lidando com funções absolutas e integrais definidas. Para resolver, precisamos entender onde a expressão dentro do valor absoluto, 1 + x, é positiva ou negativa, porque isso afeta como vamos calcular a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde 1 + x muda de sinal. Para isso, igualamos a expressão a zero:
1 + x = 0
Resolvendo para x:
x = -1
Então, o ponto x = -1 é onde a expressão dentro do valor absoluto muda de positiva para negativa ou vice-versa. Isso significa que precisamos dividir a integral em duas partes: de -10 a -1 e de -1 a 10.

Passo 3

Agora, vamos analisar cada intervalo:
  1. Para x <= -1:
    Aqui, 1 + x é menor ou igual a zero. Então, o valor absoluto |1 + x| vira:
|1 + x| = -(1 + x) = -1 - x
  1. Para x >= -1:
    Aqui, 1 + x é maior ou igual a zero. Então, o valor absoluto |1 + x| permanece:
|1 + x| = 1 + x

Passo 4

Com isso, nossa integral original se divide em duas partes:
integral-10^10 |1 + x| , dx = integral-10^-1 (-1 - x) , dx + integral-1^10 (1 + x) , dx
Vamos calcular cada uma separadamente.

Passo 5

Calculando a primeira integral:
integral-10^-1 (-1 - x) , dx = integral-10^-1 (-1) , dx + integral-10^-1 (-x) , dx
Integrando termo a termo:
= [-x]-10^-1 + [-12x^2]-10^-1
Calculando os limites:
= [(-(-1)) - (-(-10))] + [-12(-1)^2 - (-12(-10)^2)]
= [1 - 10] + [-12 - (-50)]
= -9 + 49.5 = 40.5

Passo 6

Calculando a segunda integral:
integral-1^10 (1 + x) , dx = integral-1^10 1 , dx + integral-1^10 x , dx
Integrando termo a termo:
= [x]-1^10 + [12x^2]-1^10
Calculando os limites:
= [10 - (-1)] + [12(10)^2 - 12(-1)^2]
= 11 + [50 - 0.5] = 11 + 49.5 = 60.5

Passo 7

Agora, somamos os resultados das duas integrais:
40.5 + 60.5 = 101

Resposta

O valor da integral definida integral-10^10 |1 + x| , dx é 101.

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