Calcule a integral imprópria proposta a seguir:
integral0^infty x e^-x cos x d x
Sugestão: u=x e dv=e^-x cos x dx

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral imprópria juntos! O exercício pede para calcular:
integral0^infty x e^-x cos x , dx
Esse tipo de integral envolve funções exponenciais e trigonométricas, e para resolver vamos usar integração por partes. A dica sugere escolher u = x e dv = e^-x cos x , dx , então vamos seguir por esse caminho.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, já temos:
  • u = x
  • dv = e^-x cos x , dx
Agora, precisamos encontrar du e v :
  • Derivando u , temos:
du = dx
  • Integrando dv , ou seja, encontrando v :
v = integral e^-x cos x , dx

Passo 3

Para calcular v = integral e^-x cos x , dx , vamos usar uma fórmula padrão para integrais desse tipo:
integral e^mx cos(nx) , dx = e^mx (m cos nx + n sin nx)m^2 + n^2
No nosso caso, m = -1 e n = 1 , então substituindo:
v = e^-x (-1 cdot cos x + 1 cdot sin x)(-1)^2 + 1^2 = e^-x (-cos x + sin x)2

Passo 4

Agora, aplicando a fórmula da integração por partes:
integral0^infty x e^-x cos x , dx = [ x cdot e^-x (-cos x + sin x)2 ]0^infty - integral0^infty e^-x (-cos x + sin x)2 , dx
Vamos analisar os limites do primeiro termo:
  • Quando x to infty , e^-x tende a 0, então o termo todo vai a 0.
  • Quando x = 0 , o termo também é 0 porque é multiplicado por x .
Portanto, o primeiro termo é zero.

Passo 5

Ficamos com:
- integral0^infty e^-x (-cos x + sin x)2 , dx = 12 integral0^infty e^-x (cos x - sin x) , dx
Agora, vamos separar a integral:
12 ( integral0^infty e^-x cos x , dx - integral0^infty e^-x sin x , dx )

Passo 6

Sabemos que:
integral0^infty e^-x cos x , dx = 11 + 1 = 12
e
integral0^infty e^-x sin x , dx = 11 + 1 = 12
Substituindo esses valores na expressão:
12 ( 12 - 12 ) = 12 cdot 0 = 0

Resposta

O valor da integral é 0 .

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