Calcule a integral imprópria proposta a seguir:
Sugestão:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral imprópria juntos! O exercício pede para calcular:
Esse tipo de integral envolve funções exponenciais e trigonométricas, e para resolver vamos usar integração por partes. A dica sugere escolher
e
, então vamos seguir por esse caminho.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Aqui, já temos:
Agora, precisamos encontrar
e
:
- Derivando
, temos:
- Integrando
, ou seja, encontrando :
Passo 3
Para calcular
, vamos usar uma fórmula padrão para integrais desse tipo:
No nosso caso,
e
, então substituindo:
Passo 4
Agora, aplicando a fórmula da integração por partes:
Vamos analisar os limites do primeiro termo:
- Quando
, tende a 0, então o termo todo vai a 0. - Quando
, o termo também é 0 porque é multiplicado por .
Portanto, o primeiro termo é zero.
Passo 5
Ficamos com:
Agora, vamos separar a integral:
Passo 6
Sabemos que:
e
Substituindo esses valores na expressão:
Resposta
O valor da integral é
.