Determine o volume de um sólido gerado pela rotação em torno do eixo
pela região limitada pela curva
, o eixo
, e as retas verticias
e
.
Sugestão: Basta seguir o modelo do primeiro exercício utilizado como exemplo resolvido na aula 24.
Sugestão: Basta seguir o modelo do primeiro exercício utilizado como exemplo resolvido na aula 24.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é formado quando a região limitada pela curva
, o eixo
, e as retas verticais
e
é girada em torno do eixo
. Para isso, vamos usar um método de cálculo chamado método dos discos, que faz parte do estudo de volumes de sólidos de revolução na matéria de Cálculo Integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Essa é uma função que, para cada valor de
, nos dá um valor de
. O gráfico dessa função nos ajuda a visualizar a região que vamos girar.
Passo 3
Como queremos girar essa região em torno do eixo
, vamos imaginar fatiar o sólido em discos infinitamente finos perpendiculares ao eixo
. Cada disco terá um raio correspondente ao valor de
da função na posição
, e uma espessura infinitesimal
.
Passo 4
A área de cada disco é dada por
, onde
é o raio do disco. No nosso caso,
. Então, a área do disco é:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão. Sabemos que
. Portanto:
Passo 6
Para encontrar o volume total, integramos a área dos discos desde
até
:
Passo 7
Vamos tirar a constante
da integral:
Passo 8
Agora, vamos integrar
. A antiderivada de
é
para
:
Passo 9
Aplicando os limites de integração:
Passo 10
Vamos calcular
e
:
Passo 11
Substituindo esses valores na expressão do volume:
Passo 12
Simplificando:
Resposta
O volume do sólido gerado é
unidades cúbicas.