Determine o volume de um sólido gerado pela rotação em torno do eixo x pela região limitada pela curva y=raiz[3]x^2, o eixo x, e as retas verticias x=1 e x=8.
Sugestão: Basta seguir o modelo do primeiro exercício utilizado como exemplo resolvido na aula 24.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é formado quando a região limitada pela curva y = raiz[3]x^2 , o eixo x , e as retas verticais x = 1 e x = 8 é girada em torno do eixo x . Para isso, vamos usar um método de cálculo chamado método dos discos, que faz parte do estudo de volumes de sólidos de revolução na matéria de Cálculo Integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função y = raiz[3]x^2 . Essa é uma função que, para cada valor de x , nos dá um valor de y . O gráfico dessa função nos ajuda a visualizar a região que vamos girar.

Passo 3

Como queremos girar essa região em torno do eixo x , vamos imaginar fatiar o sólido em discos infinitamente finos perpendiculares ao eixo x . Cada disco terá um raio correspondente ao valor de y da função na posição x , e uma espessura infinitesimal dx .

Passo 4

A área de cada disco é dada por pi r^2 , onde r é o raio do disco. No nosso caso, r = y = raiz[3]x^2 . Então, a área do disco é:
A(x) = pi (raiz[3]x^2)^2

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão. Sabemos que (raiz[3]x^2)^2 = (x^2)^2/3 = x^4/3 . Portanto:
A(x) = pi x^4/3

Passo 6

Para encontrar o volume total, integramos a área dos discos desde x = 1 até x = 8 :
V = integral1^8 pi x^4/3 dx

Passo 7

Vamos tirar a constante pi da integral:
V = pi integral1^8 x^4/3 dx

Passo 8

Agora, vamos integrar x^4/3 . A antiderivada de x^n é x^n+1n+1 para n neq -1 :
integral x^4/3 dx = x^7/37/3 = 37 x^7/3

Passo 9

Aplicando os limites de integração:
V = pi [ 37 x^7/3 ]1^8 = pi ( 37 (8)^7/3 - 37 (1)^7/3 )

Passo 10

Vamos calcular (8)^7/3 e (1)^7/3 :
  • (8)^7/3 = (8^1/3)^7 = 2^7 = 128
  • (1)^7/3 = 1

Passo 11

Substituindo esses valores na expressão do volume:
V = pi ( 37 times 128 - 37 times 1 ) = pi ( 3847 - 37 ) = pi ( 3817 )

Passo 12

Simplificando:
V = 3817 pi

Resposta

O volume do sólido gerado é 3817 pi unidades cúbicas.

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