Encontre os pontos críticos da função
classifique-os em pontos de máximo local, mínimo local e ponto de sela.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar os pontos críticos da função $ F(x, y) = \frac{y^{3}}{3} - y^{2} + \frac{-x^{3}}{3} + x^{2} e $ e descobrir se esses pontos são de máximo local, mínimo local ou pontos de sela. Isso envolve cálculo de derivadas parciais e análise das segundas derivadas para classificar esses pontos.
Passo 2
Primeiro, precisamos achar os pontos críticos da função. Pontos críticos ocorrem onde as derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero. Vamos calcular essas derivadas.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de $ F $ em relação a $ x $:
Passo 4
Agora, calculamos a derivada parcial de $ F $ em relação a $ y $:
Passo 5
Vamos igualar as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 6
Combinando os valores de $ x $ e $ y $, temos quatro possíveis pontos críticos:
- $ (0, 0) $
- $ (0, 2) $
- $ (2e, 0) $
- $ (2e, 2) $
Passo 7
Agora, vamos classificar cada ponto crítico usando o teste da segunda derivada. Para isso, calculamos as segundas derivadas:
O discriminante $ D $ é dado por:
Passo 8
Vamos avaliar o discriminante em cada ponto crítico:
-
Ponto (0, 0):Como $ D < 0 $, é um ponto de sela.
-
Ponto (0, 2):
-
Ponto (2e, 0):
-
Ponto (2e, 2):Como $ D < 0 $, é um ponto de sela.
Resposta
Os pontos críticos da função são:
- $ (0, 0) $ – Ponto de sela
- $ (0, 2) $ – Mínimo local
- $ (2e, 0) $ – Máximo local
- $ (2e, 2) $ – Ponto de sela