Encontre os pontos críticos da função F(x, y)=y^33-y^2+-x^33+x^2 e classifique-os em pontos de máximo local, mínimo local e ponto de sela.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar os pontos críticos da função $ F(x, y) = \frac{y^{3}}{3} - y^{2} + \frac{-x^{3}}{3} + x^{2} e $ e descobrir se esses pontos são de máximo local, mínimo local ou pontos de sela. Isso envolve cálculo de derivadas parciais e análise das segundas derivadas para classificar esses pontos.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar os pontos críticos da função. Pontos críticos ocorrem onde as derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero. Vamos calcular essas derivadas.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de $ F $ em relação a $ x $:
F

Passo 4

Agora, calculamos a derivada parcial de $ F $ em relação a $ y $:
F

Passo 5

Vamos igualar as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:
Fx = -x^2 + 2x e = 0 implies x(-x + 2e) = 0 implies x = 0 ou x = 2e
Fy = y^2 - 2y = 0 implies y(y - 2) = 0 implies y = 0 ou y = 2

Passo 6

Combinando os valores de $ x $ e $ y $, temos quatro possíveis pontos críticos:
  1. $ (0, 0) $
  2. $ (0, 2) $
  3. $ (2e, 0) $
  4. $ (2e, 2) $

Passo 7

Agora, vamos classificar cada ponto crítico usando o teste da segunda derivada. Para isso, calculamos as segundas derivadas:
Fxx = partial^2 Fpartial x^2 = partialpartial x (-x^2 + 2x e) = -2x + 2e
Fyy = partial^2 Fpartial y^2 = partialpartial y (y^2 - 2y) = 2y - 2
Fxy = partial^2 Fpartial x partial y = 0 (já que não há termos mistos) áãá
O discriminante $ D $ é dado por:
D

Passo 8

Vamos avaliar o discriminante em cada ponto crítico:
  1. Ponto (0, 0):
    Fxx = -2(0) + 2e = 2e Fyy = 2(0) - 2 = -2 D = 2e times (-2) - 0 = -4e < 0
    Como $ D < 0 $, é um ponto de sela.
  2. Ponto (0, 2):
    D < 0 í
  3. Ponto (2e, 0):
    Fxx = -2(0) + 2e = 2e Fyy = 2(2) - 2 = 2 D = 2e times 2 - 0 = 4e > 0 Fxx = 2e > 0 implies Mínimo Local á
  4. Ponto (2e, 2):
    Fxx = -2(2e) + 2e = -2e Fyy = 2(0) - 2 = -2 D = (-2e) times (-2) - 0 = 4e > 0 Fxx = -2e < 0 implies Máximo Local
    Como $ D < 0 $, é um ponto de sela.

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  • $ (0, 0) $ – Ponto de sela
  • $ (0, 2) $ – Mínimo local
  • $ (2e, 0) $ – Máximo local
  • $ (2e, 2) $ – Ponto de sela

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