Mostre que a função
não é diferenciável na origem. Dica: Para as funções diferenciáveis a derivada direcional
é igual ao produto interno do gradiente com
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é para mostrar que a função
não é diferenciável na origem. Vamos usar o conceito de derivada direcional e gradiente para isso. Basicamente, se a função fosse diferenciável ali, a derivada direcional em qualquer direção seria igual ao produto interno do gradiente com o vetor da direção. Vamos ver se isso acontece.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a função ser diferenciável na origem. Diferenciabilidade implica que a função pode ser aproximada por um plano linear próximo desse ponto. Para verificar isso, vamos calcular as derivadas parciais em relação a
e
na origem.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
na origem. Isso significa que vamos derivar
em relação a
quando
:
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
na origem. Vamos derivar
em relação a
quando
:
Então,
Passo 5
Com as derivadas parciais calculadas, o gradiente de
na origem seria:
Passo 6
Agora, segundo a dica do exercício, para funções diferenciáveis, a derivada direcional na direção de qualquer vetor
deve ser igual ao produto interno do gradiente com
:
Ou seja, a derivada direcional deveria ser sempre zero em qualquer direção se a função fosse diferenciável na origem.
Passo 7
Vamos agora calcular a derivada direcional da função
na origem em uma direção específica para ver se realmente é igual a zero. Escolhemos, por exemplo, a direção
.
A derivada direcional é dada por:
Passo 8
Vimos que a derivada direcional na direção
é
, diferente de zero. Isso contraria a condição necessária para diferenciabilidade, que exigiria que todas as derivadas direcionais fossem zero (já que o gradiente é zero).
Resposta
Portanto, como existe pelo menos uma direção em que a derivada direcional de
na origem não coincide com o produto interno do gradiente com o vetor direção, concluímos que a função
não é diferenciável na origem.