Mostre que a função
f(x, y)=cc 0 & (x, y)=(0,0) x^2 yx^2+y^2 & (x, y) neq(0,0)
não é diferenciável na origem. Dica: Para as funções diferenciáveis a derivada direcional partial fpartial u é igual ao produto interno do gradiente com u.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é para mostrar que a função
f(x, y)=cc 0 & (x, y)=(0,0) x^2 yx^2+y^2 & (x, y) neq(0,0)
não é diferenciável na origem. Vamos usar o conceito de derivada direcional e gradiente para isso. Basicamente, se a função fosse diferenciável ali, a derivada direcional em qualquer direção seria igual ao produto interno do gradiente com o vetor da direção. Vamos ver se isso acontece.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função ser diferenciável na origem. Diferenciabilidade implica que a função pode ser aproximada por um plano linear próximo desse ponto. Para verificar isso, vamos calcular as derivadas parciais em relação a x e y na origem.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de f em relação a x na origem. Isso significa que vamos derivar f(x, 0) em relação a x quando y = 0 :
f(x, 0) = x^2 cdot 0x^2 + 0^2 = 0
Então,
partial fpartial x(0,0) = limh to 0 f(h,0) - f(0,0)h = limh to 0 0 - 0h = 0

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a y na origem. Vamos derivar f(0, y) em relação a y quando x = 0 :
f(0, y) = 0^2 cdot y0^2 + y^2 = 0
Então,
partial fpartial y(0,0) = limk to 0 f(0,k) - f(0,0)k = limk to 0 0 - 0k = 0

Passo 5

Com as derivadas parciais calculadas, o gradiente de f na origem seria:
nabla f(0,0) = ( partial fpartial x(0,0), partial fpartial y(0,0) ) = (0, 0)

Passo 6

Agora, segundo a dica do exercício, para funções diferenciáveis, a derivada direcional na direção de qualquer vetor u = (u1, u2) deve ser igual ao produto interno do gradiente com u :
partial fpartial u = nabla f(0,0) cdot u = 0 cdot u1 + 0 cdot u2 = 0
Ou seja, a derivada direcional deveria ser sempre zero em qualquer direção se a função fosse diferenciável na origem.

Passo 7

Vamos agora calcular a derivada direcional da função f na origem em uma direção específica para ver se realmente é igual a zero. Escolhemos, por exemplo, a direção u = (1,1) .
A derivada direcional é dada por:
partial fpartial u = limt to 0 f(t, t) - f(0,0)t = limt to 0 t^2 cdot tt^2 + t^2 - 0t = limt to 0 t^32t^2t = limt to 0 t2t = 12

Passo 8

Vimos que a derivada direcional na direção u = (1,1) é 12 , diferente de zero. Isso contraria a condição necessária para diferenciabilidade, que exigiria que todas as derivadas direcionais fossem zero (já que o gradiente é zero).

Resposta

Portanto, como existe pelo menos uma direção em que a derivada direcional de f na origem não coincide com o produto interno do gradiente com o vetor direção, concluímos que a função f(x, y) não é diferenciável na origem.

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