Considere a função f(x)=x^wed>= 3-6 x^wed>= 2+9 x definida no intervalo [0,3]. Verifique se o Teorema de Rolle é aplicável a f(x) nesse intervalo. Caso seja aplicável, determine o(s) valor(es) de c in (0,3) tal que f^prime(c)=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x definida no intervalo [0, 3]. A questão pede para verificar se o Teorema de Rolle é aplicável nessa situação e, se for, encontrar os valores de c no intervalo aberto (0,3) onde a derivada de f é igual a zero. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Rolle, verificar se as condições dele estão satisfeitas e, se sim, calcular a derivada da função para encontrar os pontos desejados.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Rolle. Esse teorema diz que se uma função f é contínua no intervalo fechado [a, b], derivável no intervalo aberto (a, b), e se os valores de f nas extremidades são iguais, ou seja, f(a) = f(b) , então existe pelo menos um ponto c em (a, b) onde a derivada da função é zero, ou seja, f'(c) = 0 .

Passo 3

Vamos verificar as condições do Teorema de Rolle para a função f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x no intervalo [0, 3]:
  1. Continuidade: A função é um polinômio, e polinômios são contínuos em todos os números reais. Então, f é contínua em [0, 3].
  2. Derivabilidade: Novamente, como f é um polinômio, ela é derivável em todos os números reais, incluindo o intervalo aberto (0, 3).
  3. Valores iguais nas extremidades: Vamos calcular f(0) e f(3) :
    • f(0) = 0^3 - 6 cdot 0^2 + 9 cdot 0 = 0
    • f(3) = 3^3 - 6 cdot 3^2 + 9 cdot 3 = 27 - 54 + 27 = 0
    Então, f(0) = f(3) = 0 .

Passo 4

Como todas as condições do Teorema de Rolle estão satisfeitas, podemos concluir que existe pelo menos um ponto c no intervalo (0, 3) tal que f'(c) = 0 .

Passo 5

Agora, vamos encontrar esse(s) valor(es) de c . Primeiro, vamos calcular a derivada de f :
f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x
Derivando termo a termo:
f'(x) = 3x^2 - 12x + 9

Passo 6

Precisamos encontrar os valores de x que satisfazem f'(x) = 0 :
3x^2 - 12x + 9 = 0
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:
x^2 - 4x + 3 = 0

Passo 7

Agora, resolvemos a equação quadrática x^2 - 4x + 3 = 0 . Vamos fatorar:
x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3) = 0
Então, as soluções são:
x - 1 = 0 x = 1
x - 3 = 0 x = 3

Passo 8

Das soluções x = 1 e x = 3 , precisamos considerar apenas os valores dentro do intervalo aberto (0, 3). O valor x = 3 está na extremidade do intervalo, então descartamos. Portanto, o único valor de c que vale é c = 1 .

Resposta

O Teorema de Rolle é aplicável à função f(x) no intervalo [0, 3], e o valor de c em (0, 3) que satisfaz f'(c) = 0 é c = 1 .

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