Considere a função
definida no intervalo
. Verifique se o Teorema de Rolle é aplicável a
nesse intervalo. Caso seja aplicável, determine o(s) valor(es) de
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
definida no intervalo [0, 3]. A questão pede para verificar se o Teorema de Rolle é aplicável nessa situação e, se for, encontrar os valores de
no intervalo aberto (0,3) onde a derivada de
é igual a zero. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Rolle, verificar se as condições dele estão satisfeitas e, se sim, calcular a derivada da função para encontrar os pontos desejados.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Rolle. Esse teorema diz que se uma função
é contínua no intervalo fechado [a, b], derivável no intervalo aberto (a, b), e se os valores de
nas extremidades são iguais, ou seja,
, então existe pelo menos um ponto
em (a, b) onde a derivada da função é zero, ou seja,
.
Passo 3
Vamos verificar as condições do Teorema de Rolle para a função
no intervalo [0, 3]:
-
Continuidade: A função é um polinômio, e polinômios são contínuos em todos os números reais. Então,
é contínua em [0, 3]. -
Derivabilidade: Novamente, como
é um polinômio, ela é derivável em todos os números reais, incluindo o intervalo aberto (0, 3). -
Valores iguais nas extremidades: Vamos calcular
e : Então,. -
Passo 4
Como todas as condições do Teorema de Rolle estão satisfeitas, podemos concluir que existe pelo menos um ponto
no intervalo (0, 3) tal que
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar esse(s) valor(es) de
. Primeiro, vamos calcular a derivada de
:
Derivando termo a termo:
Passo 6
Precisamos encontrar os valores de
que satisfazem
:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:
Passo 7
Agora, resolvemos a equação quadrática
. Vamos fatorar:
Então, as soluções são:
Passo 8
Das soluções
e
, precisamos considerar apenas os valores dentro do intervalo aberto (0, 3). O valor
está na extremidade do intervalo, então descartamos. Portanto, o único valor de
que vale é
.
Resposta
O Teorema de Rolle é aplicável à função
no intervalo [0, 3], e o valor de
em (0, 3) que satisfaz
é
.