Calcule a integral indefinida.
integral x+1(x^2+2 x)^3 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral x+1l(x^2+2xr)^3,dx
O conteúdo aqui é mudança de variável (substituição) para transformar a integral em uma potência simples de u.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^2+2x,
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du = (2x+2),dx = 2(x+1),dx Longrightarrow (x+1),dx = du2
Assim a integral vira
integral x+1l(x^2+2xr)^3,dx = integral 1u^3cdotdu2 = 12integral u^-3,du

Passo 3

Calculamos a integral de u^-3:
integral u^-3,du = u^-2-2 = -12u^-2
Multiplicando pelo fator tfrac12 que ficou fora, obtemos
12integral u^-3,du = 12l(-12u^-2r) = -14u^-2

Passo 4

Voltando à variável x, temos
u^-2 = l(x^2+2xr)^-2,
portanto a primitiva é
-14l(x^2+2xr)^-2 + C

Resposta

-14l(x^2+2xr)^2 + C

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