Determine as seguintes integrais
integral sin ^2(t) cos ^5(t) d t

Passo 1

O enunciado pede a primitiva da função
sin^2(t),cos^5(t),
ou seja, calcular
integral sin^2(t),cos^5(t),dt
O conteúdo envolvido é integração de potências de sin e cos usando substituição. Como a potência de cos é ímpar, vamos reservar um fator cos(t),dt para a substituição u=sin(t).

Passo 2

Separe a parte ímpar de cos e escreva o restante em termos de sin:
cos^5(t)=cos^4(t),cos(t) =(cos^2(t))^2,cos(t) =(1-sin^2(t))^2,cos(t)
Logo, o integrando vira
sin^2(t),(1-sin^2(t))^2,cos(t)

Passo 3

Faça a substituição
u=sin(t), du=cos(t),dt
Assim a integral passa a ser
integral u^2,(1-u^2)^2,du

Passo 4

Expanda o polinômio dentro da integral:
u^2,(1-u^2)^2 =u^2,(1-2u^2+u^4) =u^2-2u^4+u^6
Portanto
integral u^2,(1-u^2)^2,du =integrall(u^2-2u^4+u^6r),du

Passo 5

Integre termo a termo:
integral u^2,du=u^33, integral(-2u^4),du=-2cdotu^55, integral u^6,du=u^77
Somando, obtemos
u^33-2u^55+u^77+C

Passo 6

Volte à variável t usando u=sin(t):
integral sin^2(t),cos^5(t),dt =sin^3(t)3 -2,sin^5(t)5 +sin^7(t)7+C

Resposta

boxed integral sin^2(t),cos^5(t),dt =sin^3(t)3 -2,sin^5(t)5 +sin^7(t)7+C

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