Determine as seguintes integrais
integral raizcos (z) sin ^3(z) d z

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral raizcos(z),sin^3(z),dz
O conteúdo envolve manipular potências de seno e cosseno e usar substituição trigonométrica.

Passo 2

Reescrevemos sin^3(z) como
sin^3(z)=sin^2(z),sin(z)=(1-cos^2(z)),sin(z),
de modo que a integral vira
integral raizcos(z),(1-cos^2(z)),sin(z),dz

Passo 3

Fazemos a substituição
u=cos(z), du=-sin(z),dz Longrightarrow sin(z),dz=-du
Assim a integral em z se transforma em integral em u:
integral raizu,(1-u^2),(-du) =-integrall(u^1/2-u^5/2r),du

Passo 4

Calculamos a primitiva em u:
-integrall(u^1/2-u^5/2r),du =-l(u^3/2tfrac32-u^7/2tfrac72r)+C =-23u^3/2+27u^7/2+C
Voltando a u=cos(z), obtemos a antiderivada em z.

Resposta

integral raizcos(z),sin^3(z),dz =-23cos^3/2(z)+27cos^7/2(z)+C

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