Calcule a integral indefinida.
integral 2 x^2+x(4 x^3+3 x^2)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral 2x^2+xl(4x^3+3x^2r)^2,dx
O conteúdo aqui é a técnica de substituição, em que identificamos uma parte da integral cuja derivada aparece (até constante) no numerador.

Passo 2

Definimos a substituição
u = 4x^3+3x^2
Isso faz com que a parte complicada do denominador vire simplesmente u.

Passo 3

Calculamos du:
du = l(12x^2 + 6xr),dx = 6l(2x^2+xr),dx
Repare que o numerador original é 2x^2+x, de modo que
2x^2+x = 16l(12x^2+6xr) Longrightarrow (2x^2+x),dx = 16,du

Passo 4

Substituindo na integral, obtemos
integral 2x^2+xl(4x^3+3x^2r)^2,dx = integral 16,duu^2 = 16integral u^-2,du

Passo 5

Integramos em u:
integral u^-2,du = u^-1-1 = -u^-1
Logo
16integral u^-2,du = -16u^-1 + C

Passo 6

Voltando à variável x, temos u = 4x^3+3x^2, então
-16u^-1 + C = -16,14x^3+3x^2 + C

Resposta

-16l(4x^3+3x^2r) + C

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