Use uma substituição trigonométrica adequada para determinar as seguintes integrais
integral 1x raiz9+x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral 1xraiz9+x^2,dx
usando substituição trigonométrica. Como aparece raiz9+x^2, a substituição padrão é
x = 3tantheta,
pois então raiz9+x^2=3sectheta.

Passo 2

Fazendo x=3tantheta temos
dx = 3sec^2!theta,dtheta, raiz9+x^2 = 3sectheta
Além disso, xraiz9+x^2 = (3tantheta)(3sectheta)=9tantheta,sectheta.

Passo 3

Substituindo em I=integral 1xraiz9+x^2,dx vem
I = integral dxxraiz9+x^2 = integral 3sec^2!theta,dtheta9tantheta,sectheta = 13integral sec^2!thetatantheta,sectheta,dtheta = 13integral secthetatantheta,dtheta
Mas secthetatantheta=csctheta, logo
I = 13integral csctheta,dtheta

Passo 4

A primitiva de csctheta é
integral csctheta,dtheta = -lnl|csctheta + cotthetar| + C
Portanto
I = -13,lnl|csctheta + cotthetar| + C

Passo 5

Retornando a variável x: de x=3tantheta obtemos um triângulo retângulo onde o cateto oposto vale x, o adjacente vale 3 e a hipotenusa raiz9+x^2. Assim
csctheta = hipotenusaoposto = raiz9+x^2x, cottheta = adjacenteoposto = 3x
Logo
csctheta + cottheta = raiz9+x^2x + 3x = raiz9+x^2+3x
Substituindo em I
I = -13,lnl|raiz9+x^2+3xr| + C = 13,lnl|xraiz9+x^2+3r| + C

Resposta

boxed integral 1xraiz9+x^2,dx = 13,ln!l|xraiz9+x^2+3r| + C

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