Use uma substituição trigonométrica adequada para determinar as seguintes integrais
integral 1x raiz1-x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral 1xraiz1-x^2,dx
usando uma substituição trigonométrica. O conteúdo envolvido é integração de funções que contêm raiz1-x^2, e para isso é natural usar
x = sintheta,
já que raiz1-sin^2theta=costheta.

Passo 2

Fazendo a substituição
x = sintheta, dx = costheta,dtheta, raiz1-x^2 = costheta,
a integral original fica
integral 1xraiz1-x^2,dx = integral 1sintheta;costheta,l(costheta,dthetar) = integral 1sintheta,dtheta = integral csctheta,dtheta

Passo 3

Agora precisamos calcular
integral csctheta,dtheta
Uma primitiva clássica é
integral csctheta,dtheta = -lnl|csctheta + cotthetar| + C

Passo 4

Voltemos à variável x. De x=sintheta segue
csctheta = 1sintheta = 1x, cottheta = costhetasintheta = raiz1-x^2x
Logo,
csctheta + cottheta = 1x + raiz1-x^2x = 1+raiz1-x^2x
Substituindo na primitiva obtemos
-lnl|csctheta + cotthetar| + C = -lngl|1+raiz1-x^2xgr| + C
Podemos reescrever
-lnl|tfrac1+raiz1-x^2xr| = lnl|tfracx1+raiz1-x^2r| + C',
com C' nova constante de integração.

Resposta

integral 1xraiz1-x^2,dx = ln!l|tfracx1+raiz1-x^2r| + C

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