Use uma substituição trigonométrica adequada para determinar as seguintes integrais
integral 1t^3 raizt^2-2 d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral 1t^3,raizt^2-2;dt
usando substituição trigonométrica. O tipo de raiz é raizt^2-a^2 com a=raiz2, então vamos usar a substituição clássica t=asectheta.

Passo 2

Fazemos
t = raiz2,sectheta,
então
dt = raiz2,sectheta,tantheta;dtheta,
e
raizt^2-2 = raiz2sec^2theta - 2 = raiz2(sec^2theta-1) = raiz2,tantheta
(neste raciocínio assumimos theta tal que tantheta>=0, equivalente a t>=raiz2).

Passo 3

Substituindo na integral temos
integral 1t^3,raizt^2-2;dt = integral 1(raiz2sectheta)^3,l(raiz2tanthetar);l(raiz2sectheta,tantheta,dthetar)
No numerador fica raiz2,sectheta,tantheta e no denominador
(raiz2)^3,sec^3theta;times;raiz2,tantheta =2^2,sec^3theta,tantheta=4,sec^3theta,tantheta
Logo a integral vira
integral raiz2,sectheta,tantheta4,sec^3theta,tantheta;dtheta = raiz24integral 1sec^2theta;dtheta = raiz24integral cos^2!theta;dtheta

Passo 4

Para integrar cos^2!theta usamos a identidade
cos^2!theta = 1+cos2theta2
Então
raiz24integral cos^2!theta,dtheta = raiz24integral 1+cos2theta2,dtheta = raiz28integral (1+cos2theta),dtheta
= raiz28l(theta + tfrac12sin2thetar) + C = raiz28,theta + raiz216,sin2theta + C

Passo 5

Voltemos a . Temos , então
Além disso
Logo
Somando tudo, obtemos a primitiva em função de :

Resposta

integral 1t^3,raizt^2-2;dt = raiz28,arccos!l(raiz2tr) + raizt^2-24,t^2 + C

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