Calcule a integral indefinida.
int 3 x-1(3 x^2-2 x+1)^4 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral 3x - 1l(3x^2 - 2x + 1r)^4,dx
O conteúdo aqui é reconhecer uma parte da função como derivada de outra e usar substituição.

Passo 2

Definimos
u = 3x^2 - 2x + 1,
cuja derivada é
dudx = 6x - 2 = 2,(3x - 1)
Logo podemos escrever
3x - 1 = tfrac12,dudx

Passo 3

Reescrevendo o diferencial, temos
(3x - 1),dx = tfrac12,du
Assim a integral fica
integral 3x - 1u^4,dx = integral 1u^4 ,l(tfrac12,dur) = tfrac12 integral u^-4,du

Passo 4

Agora integramos em u:
tfrac12 integral u^-4,du = tfrac12 cdot u^-3-3 + C = -16,u^-3 + C

Passo 5

Voltando à variável x, substituímos u = 3x^2 - 2x + 1 e obtemos
-16,l(3x^2 - 2x + 1r)^-3 + C

Resposta

-16,l(3x^2 - 2x + 1r)^-3 + C

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