Calcule a integral indefinida.
int x+1x^2+2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral x+1x^2+2x,dx
Como temos uma função racional em que o grau do numerador é menor que o do denominador, vamos usar decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador:
x^2+2x = x(x+2)
Então escrevemos
x+1x(x+2) = Ax + Bx+2,
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por x(x+2), obtemos
x+1 = A(x+2) + Bx
Isso dá o sistema de coeficientes
A + B = 1,
2A = 1
Da segunda equação vem A = tfrac12. Substituindo em A+B=1 obtemos B=tfrac12.

Passo 4

Substituindo A e B na integral,
integral x+1x(x+2),dx = integral l(tfrac121x + tfrac121x+2r),dx = tfrac12integral dxx + tfrac12integral dxx+2
Integrando cada parte,
tfrac12lnlvert xrvert + tfrac12lnlvert x+2rvert + C
Podemos ainda combinar os logaritmos:
tfrac12lnl|x(x+2)r| + C

Resposta

boxedintegral x+1x^2+2x,dx = tfrac12lnlvert xrvert + tfrac12lnlvert x+2rvert + C = tfrac12lnl|x(x+2)r| + C

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