Calcule as seguintes integrais:
integral 9 x^2+6 x-6(x^3+x^2-2 x)^6 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral 9x^2 + 6x - 6(x^3 + x^2 - 2x)^6 , dx
Aqui vamos usar integração por substituição porque o denominador elevado sugere ver u = x^3 + x^2 - 2x e perceber que sua derivada aparece no numerador

Passo 2

Definimos a substituição
u = x^3 + x^2 - 2x
Calculamos a derivada de u em relação a x:
dudx = 3x^2 + 2x - 2
ou seja,
du = (3x^2 + 2x - 2),dx

Passo 3

Observe que o numerador pode ser reescrito como
9x^2 + 6x - 6 = 3,(3x^2 + 2x - 2)
Logo
(9x^2 + 6x - 6),dx = 3,du
e a integral original fica
integral 9x^2 + 6x - 6(x^3 + x^2 - 2x)^6 , dx = integral 3,duu^6 = 3 integral u^-6 , du

Passo 4

Agora basta integrar em u:
3 integral u^-6 , du
Como
integral u^-6 , du = u^-5-5
segue-se que
3 cdot u^-5-5 = -35,u^-5

Passo 5

Voltando à variável original x, em que u = x^3 + x^2 - 2x, a primitiva é
-35,(x^3 + x^2 - 2x)^5 + C

Resposta

-35,(x^3 + x^2 - 2x)^5 + C

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