Calcule a integral indefinida.
int x^3(1-x^2)^3 / 2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida \r
integral x^3,(1 - x^2)^3/2,dx \r
O conteúdo aqui é técnica de substituição em integrais: identificamos uma parte interna cuja derivada aparece no integrando.

Passo 2

Fazemos a substituição \r
u = 1 - x^2,
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du = -2x,dx Longrightarrow x,dx = -tfrac12,du

Passo 3

Reescrevemos x^3,dx como x^2,(x,dx) e observamos que x^2=1-u. Além disso (1 - x^2)^3/2=u^3/2. Assim \r
integral x^3(1 - x^2)^3/2,dx = integral (1 - u),u^3/2,(x,dx) = integral (1 - u),u^3/2,l(-tfrac12dur) = -tfrac12integrall(u^3/2-u^5/2r),du

Passo 4

Integramos termo a termo: \r
integral u^3/2,du = 25,u^5/2, integral u^5/2,du = 27,u^7/2
Portanto \r
-tfrac12l[tfrac25u^5/2-tfrac27u^7/2r] = -tfrac15u^5/2+tfrac17u^7/2+C

Passo 5

Voltando à variável x com u=1-x^2, obtemos \r
-tfrac15(1 - x^2)^5/2 ;+;tfrac17(1 - x^2)^7/2 ;+;C

Resposta

-15(1 - x^2)^5/2 + 17(1 - x^2)^7/2 + C

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