Se F(x)=integral(sen(x)-cos (2 x)+tg(3 x)) d x e F(pi)=-1 entāo, podemos afirmar que:
F(x)=cos (x)+sen(2 x)2-ln (|sec (3 x)|)3
F(x)=cos (x)+sen(2 x)2-ln (|cos (3 x)|)3
F(x)=-cos (x)-sen(2 x)2+ln (|sec (3 x)|)3-2
F(x)=-cos (x)-sen(2 x)2+sec ^2(3 x)3+2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado me diz que temos uma função F(x) definida pela integral de sin(x) - cos(2x) + tan(3x) em relação a x , ou seja:
F(x) = integral (sin(x) - cos(2x) + tan(3x)) , dx
Além disso, sabemos que F(pi) = -1 . Nosso objetivo é encontrar qual das expressões dadas para F(x) está correta. Para resolver isso, vamos precisar saber como integrar funções trigonométricas básicas e usar a condição inicial para encontrar a constante de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a integral termo a termo. Isso significa que vamos integrar cada parte da função separadamente.
  1. Integral de sin(x) :
integral sin(x) , dx = -cos(x) + C1
Aqui, usamos a regra básica de que a integral de sin(x) é -cos(x) .
  1. Integral de -cos(2x) :
integral -cos(2x) , dx = -sin(2x)2 + C2
Para integrar cos(kx) , a fórmula é sin(kx)k . Então, neste caso, k = 2 .
  1. Integral de tan(3x) :
integral tan(3x) , dx = -ln|cos(3x)|3 + C3
A integral de tan(kx) é -ln|cos(kx)|k , onde k = 3 aqui.

Passo 3

Agora, juntamos todas as integrais e adicionamos uma constante geral C :
F(x) = -cos(x) - sin(2x)2 - ln|cos(3x)|3 + C
Mas ainda não sabemos o valor de C . Para descobrir isso, usamos a condição que F(pi) = -1 .
Vamos substituir x = pi na equação acima:
-1 = -cos(pi) - sin(2pi)2 - ln|cos(3pi)|3 + C
Sabemos que:
  • cos(pi) = -1
  • sin(2pi) = 0
  • cos(3pi) = -1 , então |cos(3pi)| = 1 e ln(1) = 0
Substituindo esses valores:
-1 = -(-1) - 02 - 03 + C -1 = 1 + C
Agora, isolamos C :
C = -1 - 1 C = -2

Passo 4

Agora que encontramos C = -2 , podemos escrever a expressão completa para F(x) :
F(x) = -cos(x) - sin(2x)2 - ln|cos(3x)|3 - 2
Vamos comparar essa expressão com as alternativas fornecidas:
  1. F(x) = cos(x) + sin(2x)2 - ln|sec(3x)|3
  2. F(x) = cos(x) + sin(2x)2 - ln|cos(3x)|3
  3. F(x) = -cos(x) - sin(2x)2 + ln|sec(3x)|3 - 2
  4. F(x) = -cos(x) - sin(2x)2 + sec^2(3x)3 + 2
Observando que sec(3x) = 1cos(3x) e que ln|sec(3x)| = -ln|cos(3x)| , podemos verificar que a expressão que encontramos corresponde à alternativa 3.

Resposta

F(x) = -cos(x) - sin(2x)2 + ln(|sec (3x)|)3 - 2

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