Se
e
entāo, podemos afirmar que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado me diz que temos uma função
definida pela integral de
em relação a
, ou seja:
Além disso, sabemos que
. Nosso objetivo é encontrar qual das expressões dadas para
está correta. Para resolver isso, vamos precisar saber como integrar funções trigonométricas básicas e usar a condição inicial para encontrar a constante de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a integral termo a termo. Isso significa que vamos integrar cada parte da função separadamente.
- Integral de
:
Aqui, usamos a regra básica de que a integral de
é
.
- Integral de
:
Para integrar
, a fórmula é
. Então, neste caso,
.
- Integral de
:
A integral de
é
, onde
aqui.
Passo 3
Agora, juntamos todas as integrais e adicionamos uma constante geral
:
Mas ainda não sabemos o valor de
. Para descobrir isso, usamos a condição que
.
Vamos substituir
na equação acima:
Sabemos que:
-
-
-
, então e
Substituindo esses valores:
Agora, isolamos
:
Passo 4
Agora que encontramos
, podemos escrever a expressão completa para
:
Vamos comparar essa expressão com as alternativas fornecidas:
Observando que
e que
, podemos verificar que a expressão que encontramos corresponde à alternativa 3.