Calcule a integral indefinida.
integral(x-1x^2)(x^2+2x)^5 d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
integral l(x - tfrac1x^2r) l(x^2 + tfrac2xr)^5 , dx
Aqui vamos usar a técnica de substituição (\emph{u-substitution}), pois o segundo fator elevado a uma potência sugere escolher u = x^2 + 2x.

Passo 2

Definimos
u = x^2 + 2x
Derivando ambos os lados em relação a x,
du = l(2x - 2x^-2r),dx = 2l(x - x^-2r),dx

Passo 3

Isolando ,(x - x^-2),dx em função de du, obtemos
(x - x^-2),dx = du2
Substituindo na integral original, ela fica
integral (x - x^-2),(x^2 + 2/x)^5,dx = integral u^5,du2 = 12 integral u^5,du

Passo 4

Agora é só integrar em u:
12 integral u^5,du = 12 cdot u^66 = u^612

Passo 5

Voltando à variável original x, lembrando que u = x^2 + 2/x, a primitiva geral é
l(x^2 + tfrac2xr)^612 + C

Resposta

l(x^2 + tfrac2xr)^612 + C

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