Considere a função
f(x)=lll a x^2, & se & x <= 2 3 x+a, & se & x>2
Encontre o valor da constante a que torna f contínua em x=2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função definida por partes:
f(x)= a x^2, & se x <= 2 3 x + a, & se x > 2
O objetivo é encontrar o valor da constante a que faz essa função ser contínua em x = 2 . Para isso, vamos usar o conceito de continuidade de funções em um ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função f(x) é contínua em x = c se três condições forem satisfeitas:
  1. f(c) está definida.
  2. O limite de f(x) quando x se aproxima de c existe.
  3. O limite de f(x) quando x se aproxima de c é igual a f(c) .
No nosso caso, queremos que f(x) seja contínua em x = 2 .

Passo 3

Vamos verificar cada uma dessas condições para x = 2 .
  1. f(2) está definida:
Como x = 2 está incluído na primeira parte da função ( x <= 2 ), temos:
f(2) = a cdot (2)^2 = 4a
Então, f(2) está definida e vale 4a .

Passo 4

  1. O limite de f(x) quando x se aproxima de 2 existe:
Para que o limite exista, os limites laterais (quando x se aproxima de 2 pela esquerda e pela direita) devem ser iguais.
  • Limite pela esquerda ( x to 2^- ):
Usamos a primeira parte da função:
limx to 2^- f(x) = limx to 2 a x^2 = a cdot (2)^2 = 4a
  • Limite pela direita ( x to 2^+ ):
Usamos a segunda parte da função:
limx to 2^+ f(x) = limx to 2 (3x + a) = 3 cdot 2 + a = 6 + a
Para que o limite exista, esses dois limites devem ser iguais:
4a = 6 + a

Passo 5

  1. Igualando os limites para garantir a continuidade:
Resolvendo a equação:
4a = 6 + a
Subtraindo a de ambos os lados:
4a - a = 6 3a = 6
Dividindo ambos os lados por 3:
a = 2

Resposta

O valor da constante a que torna f contínua em x = 2 é a = 2 .

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