Resolva os limites abaixo:
lim x 1 x^4+2 x^3-3x^3-x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim x 1 x^4+2 x^3-3x^3-x^2
Aqui, estamos lidando com limites, que é um conceito de cálculo que nos ajuda a entender o comportamento de funções perto de um ponto específico. Para resolver, vamos precisar de fatoração e simplificação de frações algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir x = 1 diretamente na expressão para ver o que acontece:
1^4+2 cdot 1^3-31^3-1^2 = 1 + 2 - 31 - 1 = 00
A substituição direta resultou em uma forma indeterminada 00 , o que significa que precisamos simplificar a expressão para resolver.

Passo 3

Para simplificar, vamos fatorar tanto o numerador quanto o denominador. Começando pelo numerador:
x^4 + 2x^3 - 3
Vamos tentar encontrar um fator comum. Testando x = 1 , vemos que:
1^4 + 2 cdot 1^3 - 3 = 1 + 2 - 3 = 0
Isso significa que (x - 1) é um fator do numerador. Usando divisão polinomial ou a regra de Ruffini, dividimos o numerador por (x - 1) e obtemos:
x^4 + 2x^3 - 3 = (x - 1)(x^3 + 3x^2 + 3x + 3)

Passo 4

Agora, vamos fatorar o denominador:
x^3 - x^2 = x^2(x - 1)
Assim, nossa expressão original fica:
(x - 1)(x^3 + 3x^2 + 3x + 3)x^2(x - 1)

Passo 5

Observamos que (x - 1) está presente no numerador e no denominador, então podemos cancelar esse termo (desde que x neq 1 ):
x^3 + 3x^2 + 3x + 3x^2

Passo 6

Agora, substituímos x = 1 na expressão simplificada:
1^3 + 3 cdot 1^2 + 3 cdot 1 + 31^2 = 1 + 3 + 3 + 31 = 101 = 10

Resposta

O limite é igual a 10.

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