Calcule a integral indefinida.
integral e^r(2+3 e^r)^3 / 2 d r

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
integral e^rl(2+3e^rr)^3/2,dr
O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição, pois dentro da potência aparece 2+3e^r e sua derivada está multiplicando.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 2 + 3e^r,
então
du = 3e^r,dr Longrightarrow e^r,dr = du3
Substituindo na integral, obtemos
integral e^rl(2+3e^rr)^3/2,dr = integral u^3/2,du3 = 13integral u^3/2,du

Passo 3

Agora integramos a potência de u:
integral u^3/2,du = u^5/25/2 = 25,u^5/2
Multiplicando pelo fator tfrac13, fica
13integral u^3/2,du = 13cdot25,u^5/2 = 215,u^5/2 + C

Passo 4

Voltando à variável original r com u = 2 + 3e^r, a antiderivada é
215l(2+3e^rr)^5/2 + C

Resposta

integral e^rl(2+3e^rr)^3/2,dr = 215l(2+3e^rr)^5/2 + C

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