Considere a função f(x)=x^2-8 x+12. Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de f que seja perpendicular à reta y=x6+5.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função f(x) = x^2 - 8x + 12 e queremos encontrar a equação da reta que toca o gráfico dessa função em apenas um ponto (reta tangente) e que seja perpendicular à reta y = 16x + 5 . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas (para achar a inclinação da tangente) e propriedades de retas perpendiculares.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir a inclinação da reta que já foi dada: y = 16x + 5 . Nessa equação, o coeficiente de x é a inclinação da reta, ou seja, o coeficiente angular m = 16 .

Passo 3

Como queremos que a reta tangente seja perpendicular a essa reta, precisamos encontrar a inclinação que satisfaz essa condição. Sabemos que duas retas são perpendiculares se o produto de seus coeficientes angulares for igual a -1. Então, se m1 é a inclinação da primeira reta e m2 a da perpendicular, temos:
m1 times m2 = -1
Substituindo m1 = 16 :
16 times m2 = -1 implies m2 = -6
Então, a inclinação da reta tangente que queremos é m = -6 .

Passo 4

Agora, vamos utilizar a derivada da função f(x) para encontrar onde a inclinação da tangente é igual a -6 . A derivada de f(x) nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto x .
A derivada de f(x) = x^2 - 8x + 12 é:
f'(x) = 2x - 8
Queremos que f'(x) = -6 :
2x - 8 = -6

Passo 5

Resolvendo a equação para x :
2x - 8 = -6 2x = 2 x = 1
Agora que temos x = 1 , vamos encontrar o valor de y correspondente substituindo na função original:
f(1) = (1)^2 - 8(1) + 12 = 1 - 8 + 12 = 5
Portanto, o ponto de tangência é (1, 5) .

Passo 6

Com o ponto (1, 5) e a inclinação m = -6 , podemos escrever a equação da reta tangente usando a fórmula da reta:
y - y1 = m(x - x1)
Substituindo:
y - 5 = -6(x - 1)
Simplificando:
y - 5 = -6x + 6 y = -6x + 11

Resposta

A equação da reta tangente é y = -6x + 11 .

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