Considere a função
. Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de
que seja perpendicular à reta
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e queremos encontrar a equação da reta que toca o gráfico dessa função em apenas um ponto (reta tangente) e que seja perpendicular à reta
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas (para achar a inclinação da tangente) e propriedades de retas perpendiculares.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir a inclinação da reta que já foi dada:
. Nessa equação, o coeficiente de
é a inclinação da reta, ou seja, o coeficiente angular
.
Passo 3
Como queremos que a reta tangente seja perpendicular a essa reta, precisamos encontrar a inclinação que satisfaz essa condição. Sabemos que duas retas são perpendiculares se o produto de seus coeficientes angulares for igual a -1. Então, se
é a inclinação da primeira reta e
a da perpendicular, temos:
Substituindo
:
Então, a inclinação da reta tangente que queremos é
.
Passo 4
Agora, vamos utilizar a derivada da função
para encontrar onde a inclinação da tangente é igual a
. A derivada de
nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
.
A derivada de
é:
Queremos que
:
Passo 5
Resolvendo a equação para
:
Agora que temos
, vamos encontrar o valor de
correspondente substituindo na função original:
Portanto, o ponto de tangência é
.
Passo 6
Com o ponto
e a inclinação
, podemos escrever a equação da reta tangente usando a fórmula da reta:
Substituindo:
Simplificando:
Resposta
A equação da reta tangente é
.