Considere a função
f(x)=lll a x^2, & se & x <= 2 3 x+a, & se & x>2
Assumindo o valor de a encontrado no item a), verifique se a função f é derivável em x=2.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
f(x)=lll a x^2, & se & x <= 2 3 x + a, & se & x > 2
No item anterior (item a), determinamos o valor de a que faz a função ser contínua em x = 2 . Agora, precisamos verificar se, com esse valor de a , a função f também é derivável em x = 2 . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas e como elas se comportam em pontos onde a função é definida por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para a função ser derivável em x = 2 , ela precisa ser contínua nesse ponto (o que já garantimos no item a) e, além disso, as derivadas pela esquerda e pela direita em x = 2 devem ser iguais.
Sabendo que a = 2 (resultado do item a), vamos calcular a derivada da função à esquerda de 2 e à direita de 2 .

Passo 3

Derivada pela esquerda ( x <= 2 ):
A função é f(x) = 2x^2 . A derivada dessa função é:
f'(x) = ddx(2x^2) = 4x
Avaliada em x = 2 :
f'(2^-) = 4 times 2 = 8

Passo 4

Derivada pela direita ( x > 2 ):
A função é f(x) = 3x + 2 . A derivada dessa função é:
f'(x) = ddx(3x + 2) = 3
Avaliada em x = 2 :
f'(2^+) = 3

Passo 5

Agora, comparamos as derivadas pelas duas laterais:
f'(2^-) = 8 f'(2^+) = 3
Como 8 neq 3 , as derivadas não são iguais.

Resposta

Portanto, a função f não é derivável em x = 2 .

Exercícios relacionados