Derive as funções abaixo:
f(x)=x^3 cotg(x)sen(x)+4 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para derivar a função:
f(x) = x^3 cot(x)sin(x) + 4x
Estamos trabalhando com derivação de funções aqui, especificamente usando a regra do quociente e sabendo como derivar funções trigonométricas. Vamos precisar lembrar como derivar potências de x e as funções seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que precisamos derivar. Temos um quociente, ou seja, uma fração onde o numerador é x^3 cot(x) e o denominador é sin(x) + 4x .
A regra do quociente diz que, se você tem uma função u(x)v(x) , a derivada é:
f'(x) = u'(x)v(x) - u(x)v'(x)[v(x)]^2
Então, precisamos encontrar u'(x) e v'(x) .

Passo 3

Vamos começar encontrando u(x) = x^3 cot(x) . Para derivar isso, usamos a regra do produto, já que é o produto de x^3 e cot(x) .
A regra do produto diz que:
(u cdot v)' = u' cdot v + u cdot v'
Então, temos:
  • u = x^3 u' = 3x^2
  • v = cot(x) v' = -csc^2(x)
Aplicando a regra do produto:
u'(x) = 3x^2 cdot cot(x) + x^3 cdot (-csc^2(x)) = 3x^2 cot(x) - x^3 csc^2(x)

Passo 4

Agora, vamos derivar v(x) = sin(x) + 4x .
A derivada de sin(x) é cos(x) e a derivada de 4x é simplesmente 4. Então,
v'(x) = cos(x) + 4

Passo 5

Com u'(x) e v'(x) encontrados, podemos aplicar a regra do quociente:
f'(x) = u'(x) v(x) - u(x) v'(x)[v(x)]^2 = [3x^2 cot(x) - x^3 csc^2(x)] [sin(x) + 4x] - [x^3 cot(x)][cos(x) + 4][sin(x) + 4x]^2

Passo 6

Vamos simplificar um pouco a expressão, mas mantendo-a em termos de funções trigonométricas:
f'(x) = 3x^2 cot(x) (sin(x) + 4x) - x^3 csc^2(x) (sin(x) + 4x) - x^3 cot(x) (cos(x) + 4)(sin(x) + 4x)^2
Podemos fatorar x^2 cot(x) nos termos onde aparece:
f'(x) = x^2 cot(x) [3 (sin(x) + 4x) - x (cos(x) + 4)] - x^3 csc^2(x) (sin(x) + 4x)(sin(x) + 4x)^2

Passo 7

Essa é uma forma simplificada da derivada. Dependendo da necessidade, podemos deixar a resposta assim ou continuar a simplificação, mas geralmente paramos aqui para evitar complicações desnecessárias.

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = 3x^2 cot(x) (sin(x) + 4x) - x^3 csc^2(x) (sin(x) + 4x) - x^3 cot(x) (cos(x) + 4)(sin(x) + 4x)^2

Exercícios relacionados