Derive as funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para derivar a função:
Estamos trabalhando com derivação de funções aqui, especificamente usando a regra do quociente e sabendo como derivar funções trigonométricas. Vamos precisar lembrar como derivar potências de x e as funções seno e cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que precisamos derivar. Temos um quociente, ou seja, uma fração onde o numerador é
e o denominador é
.
A regra do quociente diz que, se você tem uma função
, a derivada é:
Então, precisamos encontrar
e
.
Passo 3
Vamos começar encontrando
. Para derivar isso, usamos a regra do produto, já que é o produto de
e
.
A regra do produto diz que:
Então, temos:
-
⇒ -
⇒
Aplicando a regra do produto:
Passo 4
Agora, vamos derivar
.
A derivada de
é
e a derivada de
é simplesmente 4. Então,
Passo 5
Com
e
encontrados, podemos aplicar a regra do quociente:
Passo 6
Vamos simplificar um pouco a expressão, mas mantendo-a em termos de funções trigonométricas:
Podemos fatorar
nos termos onde aparece:
Passo 7
Essa é uma forma simplificada da derivada. Dependendo da necessidade, podemos deixar a resposta assim ou continuar a simplificação, mas geralmente paramos aqui para evitar complicações desnecessárias.
Resposta
A derivada da função é: