Calcule a integral indefinida.
integral 1(x^2+1) arctg x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
integral 1l(x^2+1r)arctan x,dx
O conteúdo principal é usar substituição baseada no fato de que a derivada de arctan x é tfrac1x^2+1.

Passo 2

Defino a substituição
t = arctan x
Então, derivando ambos os lados, obtenho
dt = dxx^2+1

Passo 3

Reescrevo a integral em termos de t. Note que
dxx^2+1 = dt
e arctan x = t. Logo,
integral 1l(x^2+1r)arctan x,dx = integral 1t,dt

Passo 4

A integral de tfrac1t é o logaritmo natural:
integral 1t,dt = lnl|tr| + C

Passo 5

Volto à variável original x substituindo t = arctan x. Assim, a primitiva é
lnl|arctan xr| + C

Resposta

lnl|arctan xr| + C

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