Verifique se as séries a seguir convergem ou divergem. Justifique suas respostas.
sumn=1^+infty sen(n)n^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a série sumn=1^+infty sin(n)n^2 converge ou diverge. A matéria envolvida aqui é Análise de Séries. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre convergência absoluta e teste da comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo geral da série: an = sin(n)n^2 . Sabemos que sin(n) sempre está entre -1 e 1, ou seja, -1 <= sin(n) <= 1 .

Passo 3

Agora, vamos olhar para o valor absoluto dos termos da série: |an| = | sin(n)n^2 | = |sin(n)|n^2 . Como |sin(n)| <= 1 , temos que |an| <= 1n^2 .

Passo 4

Aqui entra o Teste da Comparação. Sabemos que a série sumn=1^+infty 1n^2 é uma série p com p = 2 . E como p > 1 , essa série converge.

Passo 5

Como |an| <= 1n^2 e a série sumn=1^+infty 1n^2 converge, pelo Teste da Comparação, a série sumn=1^+infty sin(n)n^2 também converge absolutamente.

Resposta

A série sumn=1^+infty sin(n)n^2 converge absolutamente.

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