Verifique se as séries a seguir convergem ou divergem. Justifique suas respostas. .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a série converge ou diverge. A matéria envolvida aqui é Análise de Séries. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre convergência absoluta e teste da comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o termo geral da série: . Sabemos que sempre está entre -1 e 1, ou seja, .
Passo 3
Agora, vamos olhar para o valor absoluto dos termos da série: . Como |sin(n)| <= 1 , temos que |an| <= 1n^2 .
Passo 4
Aqui entra o Teste da Comparação. Sabemos que a série sumn=1^+infty 1n^2 é uma série p com p = 2 . E como p > 1 , essa série converge.
Passo 5
Como |an| <= 1n^2 e a série sumn=1^+infty 1n^2 converge, pelo Teste da Comparação, a série sumn=1^+infty sin(n)n^2 também converge absolutamente.
Resposta
A série sumn=1^+infty sin(n)n^2 converge absolutamente.