Derive as funções abaixo:
g(x)=tg(x)(1raiz[3]x^2+cos (x))

Passo 1

Vamos resolver a derivada da função g(x) = tan(x) ( 1raiz[3]x^2 + cos(x) ) . Para isso, vamos usar o conteúdo de derivação de funções compostas e produto de funções. Precisamos conhecer as regras de derivação, como a regra do produto e as derivadas das funções trigonométricas e de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que vamos derivar. A função g(x) é o produto de duas funções:
  • f(x) = tan(x)
  • h(x) = 1raiz[3]x^2 + cos(x)

Passo 3

Para derivar g(x) = f(x) cdot h(x) , usamos a regra do produto, que diz:
g'(x) = f'(x) cdot h(x) + f(x) cdot h'(x)
Então, precisamos encontrar f'(x) e h'(x) .

Passo 4

Vamos derivar f(x) = tan(x) . Sabemos que:
ddx tan(x) = sec^2(x)
Portanto, f'(x) = sec^2(x) .

Passo 5

Agora, vamos derivar h(x) = 1raiz[3]x^2 + cos(x) .
Primeiro, reescrevemos 1raiz[3]x^2 como x^-2/3 . Então:
h(x) = x^-2/3 + cos(x)

Passo 6

Derivando h(x) :
h'(x) = ddx ( x^-2/3 ) + ddx cos(x)
Calculando cada derivada:
ddx x^-2/3 = -23 x^-5/3
ddx cos(x) = -sin(x)
Portanto:
h'(x) = -23 x^-5/3 - sin(x)

Passo 7

Agora, aplicamos a regra do produto:
g'(x) = f'(x) cdot h(x) + f(x) cdot h'(x)
Substituindo as derivadas que encontramos:
g'(x) = sec^2(x) ( 1raiz[3]x^2 + cos(x) ) + tan(x) ( -23 x^-5/3 - sin(x) )

Resposta

A derivada da função é:
g'(x) = sec^2(x) ( 1raiz[3]x^2 + cos(x) ) + tan(x) ( -23 x^-5/3 - sin(x) )

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