Calcule a integral indefinida.
integral sen theta cos theta1+sen^2 theta d theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral sinthetacostheta1+sin^2theta,dtheta
Este é um caso clássico de substituição em que reconhecemos a presença de sintheta e de costheta,dtheta.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = sintheta,
logo
du = costheta,dtheta

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u, temos
sinthetacostheta,dtheta = u,du,
e o denominador fica 1+sin^2theta = 1+u^2. Assim
integral sinthetacostheta1+sin^2theta,dtheta = integral u1+u^2,du

Passo 4

Para integrar integral u1+u^2,du reconhecemos que d(1+u^2)=2u,du. Logo,
integral u1+u^2,du = 12 integral d(1+u^2)1+u^2 = 12 lnl|1+u^2r| + C

Passo 5

Voltando à variável theta com u=sintheta, a solução da integral original é
12 lnl(1+sin^2thetar) + C

Resposta

12 lnl(1+sin^2thetar) + C

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