Calcule a integral indefinida:
integral d xx^3 raizx^2-4

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral dxx^3raizx^2-4
Aqui usamos técnicas de substituição para transformar em uma integral da forma integral dt/(t^2+a^2)^2, que é conhecida.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = raizx^2-4,
logo t^2=x^2-4. Diferenciando, obtemos
2x,dx = 2t,dt Longrightarrow x,dx = t,dt

Passo 3

Em dxx^3raizx^2-4 note que raizx^2-4=t e dx = t,dtx. Assim
dxx^3raizx^2-4 = tfract,dtxx^3t = dtx^4
Como x^2=t^2+4, temos x^4=(t^2+4)^2. Logo a integral vira
integral dt(t^2+4)^2

Passo 4

Usamos a fórmula padrão
integral dt(t^2+a^2)^2 = t2a^2(t^2+a^2) +12a^3arctan!gl(tagr) + C
Aqui a^2=4, ou seja, a=2. Substituindo:
integral dt(t^2+4)^2 = t2cdot 4,(t^2+4) +12cdot 8arctan!gl(t2gr) + C = t8(t^2+4)+116arctan!gl(t2gr)+C

Passo 5

Voltando a t=raizx^2-4 e t^2+4=x^2, obtemos
t8(t^2+4) = raizx^2-48x^2,
portanto a primitiva é
raizx^2-48x^2 +116arctan!gl(raizx^2-42gr) + C

Resposta

integral dxx^3raizx^2-4 = raizx^2-48x^2 +116arctan!gl(raizx^2-42gr) + C

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