Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências abaixo:
sumn=1^+infty (x-1)^nn!

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
sumn=1^infty(x-1)^nn!
O conteúdo principal aqui são séries de potências e, em especial, o teste da razão para determinar o raio de convergência.

Passo 2

Seja
an=(x-1)^nn!
Aplicamos o teste da razão, que diz que a série converge absolutamente se
L=limntoinfty|an+1an|<1
Aqui
|an+1an| =|(x-1)^n+1(n+1)!cdotn!(x-1)^n| =|x-1|n+1
Como
limntoinfty|x-1|n+1=0,
temos L=0<1 para todo xinR. Portanto, a série converge para qualquer valor de x.

Passo 3

Do resultado do teste da razão concluímos que o raio de convergência é
R = infty
e, consequentemente, o intervalo de convergência é
(-infty,infty)

Resposta

Raio de convergência: R=infty.
Intervalo de convergência: (-infty,infty).

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