Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências abaixo:
Passo 1
O enunciado nos pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
Este é um caso clássico de série geométrica “alternada” com termo geral , onde . Para achar , vamos usar o teste da razão, que diz que a série converge se
Passo 2
Aplicando o teste da razão, temos
L = limntoinfty|(-1)^n+1x^n+1(-1)^n x^n| = limntoinftyl|(-1),xr| = |x|
A condição de convergência é L<1, ou seja, |x|<1.
Passo 3
Da condição |x|<1 segue que o raio de convergência é
R = 1
Passo 4
Falta agora testar os extremos x=1 e x=-1:
— Para x=1, a série fica sumn=0^infty(-1)^n, que não converge (os somatórios oscilam entre 1 e 0).
— Para x=-1, a série vira sumn=0^infty(-1)^n(-1)^n=sumn=0^infty1, que também diverge.
Logo, não há convergência nos extremos.
Resposta
O raio de convergência é R=1 e o intervalo de convergência é