Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências abaixo:
sumn=0^+infty(-1)^n x^n

Passo 1

O enunciado nos pede o raio de convergência R e o intervalo de convergência da série de potências
sumn=0^infty(-1)^nx^n
Este é um caso clássico de série geométrica “alternada” com termo geral an x^n, onde an = (-1)^n. Para achar R, vamos usar o teste da razão, que diz que a série converge se
limntoinfty|an+1x^n+1an x^n|<1

Passo 2

Aplicando o teste da razão, temos
L = limntoinfty|(-1)^n+1x^n+1(-1)^n x^n| = limntoinftyl|(-1),xr| = |x|
A condição de convergência é L<1, ou seja, |x|<1.

Passo 3

Da condição |x|<1 segue que o raio de convergência é
R = 1

Passo 4

Falta agora testar os extremos x=1 e x=-1:
— Para x=1, a série fica sumn=0^infty(-1)^n, que não converge (os somatórios oscilam entre 1 e 0).
— Para x=-1, a série vira sumn=0^infty(-1)^n(-1)^n=sumn=0^infty1, que também diverge.
Logo, não há convergência nos extremos.

Resposta

O raio de convergência é R=1 e o intervalo de convergência é
-1 < x < 1

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