Calcule a integral indefinida:
integral raiz9-x^2x^3 d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
integral raiz9 - x^2x^3,dx
O conteúdo principal desta integral é aplicar integração por partes para separar uma parte fácil de derivar e outra de integrar.

Passo 2

Escolhemos
u = raiz9 - x^2, dv = x^-3,dx
Então
du = -xraiz9 - x^2,dx, v = integral x^-3,dx = -12x^2
Pela fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du,
vem
integral raiz9 - x^2x^3,dx = -raiz9 - x^22x^2 - 12integral dxxraiz9 - x^2

Passo 3

Resta calcular
integral dxxraiz9 - x^2
Fazemos a substituição
y = raiz9 - x^2 Longrightarrow dy = -xraiz9 - x^2,dx Longrightarrow dx = -yx,dy
Além disso x^2 = 9 - y^2. Logo
dxxraiz9 - x^2 = -yx,1x,y,dy = -1x^2,dy = -19 - y^2,dy,
de modo que
integral dxxraiz9 - x^2 = -integral dy9 - y^2

Passo 4

Para integrar integral dy9 - y^2 usamos frações parciais:
19 - y^2 = 1(3 - y)(3 + y) = 1/63 - y + 1/63 + y
Assim
integral dy9 - y^2 = 16lnl|3 + yr| - 16lnl|3 - yr| = 16ln!l|3 + y3 - yr|
Portanto
integral dxxraiz9 - x^2 = -16ln!l|3 + raiz9 - x^23 - raiz9 - x^2r|

Passo 5

Substituindo em
integral raiz9 - x^2x^3,dx = -raiz9 - x^22x^2 - 12integral dxxraiz9 - x^2,
obtemos
integral raiz9 - x^2x^3,dx = -raiz9 - x^22x^2 + 112ln!l|3 + raiz9 - x^23 - raiz9 - x^2r| + C
Podemos simplificar o log usando
ln!l|tfrac3 + raiz9 - x^23 - raiz9 - x^2r| = 2ln!l|tfrac3 + raiz9 - x^2xr|,
ficando a forma compacta
-raiz9 - x^22x^2 + 16ln!l|3 + raiz9 - x^2xr| + C

Resposta

-raiz9 - x^22x^2 + 16ln!l|3 + raiz9 - x^2xr| + C

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