Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências abaixo:
sumn=1^+infty (3 x-2)^nn^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências:
sumn=1^+infty (3x - 2)^nn^2
Isso está relacionado ao estudo de séries de potências, onde a gente precisa descobrir para quais valores de x a série converge. Para resolver isso, vamos utilizar o Teste da Raiz, que é uma ferramenta bem útil pra determinar o raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Raiz. Esse teste nos ajuda a encontrar o limite:
L = limn to infty raiz[n]| (3x - 2)^nn^2 |
A ideia é calcular esse limite e verificar se ele é menor que 1, o que indica convergência da série.

Passo 3

Vamos calcular esse limite:
L = limn to infty raiz[n]|3x - 2|^n cdot raiz[n]1n^2 = |3x - 2| cdot limn to infty 1n^2/n
Sabemos que:
limn to infty n^1/n = 1
Então:
limn to infty n^2/n = 1 Rightarrow limn to infty 1n^2/n = 1
Portanto, o limite L fica:
L = |3x - 2|

Passo 4

Para a série convergir, precisamos que L < 1 :
|3x - 2| < 1
Vamos resolver essa desigualdade:
-1 < 3x - 2 < 1
Adicionando 2 em todas as partes:
1 < 3x < 3
Dividindo por 3:
13 < x < 1
Esse intervalo nos dá o raio de convergência. O raio R é a metade do comprimento do intervalo, mas como a série está centrada em x = 23 , o raio R = 1 .

Passo 5

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência completo, verificando os pontos finais x = 13 e x = 1 .
  • Para x = 1 :
sumn=1^+infty (3(1) - 2)^nn^2 = sumn=1^+infty 1^nn^2 = sumn=1^+infty 1n^2
Essa é uma série p com p = 2 > 1 , que converge.
  • Para x = 13 :
sumn=1^+infty (3(13) - 2)^nn^2 = sumn=1^+infty (-1)^nn^2
Essa é uma série alternada que também converge, já que os termos 1n^2 tendem a zero e são decrescentes.

Resposta

O raio de convergência é R = 1 e o intervalo de convergência é [ 13,, 1 ].

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