Calcule a integral indefinida:
integral d xx(4+ln ^2 x)

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada da função
1xl(4+(ln x)^2r)
ou seja, calcular
integral dxxl(4+(ln x)^2r)
Vamos usar a substituição que simplifica a presença de ln x.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = ln x,
de modo que
dt = dxx
Substituindo na integral original, obtemos
integral dxxl(4+(ln x)^2r) = integral dt4+t^2

Passo 3

Reconhecemos a integral padrão
integral dta^2+t^2 = 1aarctan!l(tfractar)+C
Aqui a^2=4, logo a=2. Assim,
integral dt4+t^2 = 12arctan!l(tfract2r)+C

Passo 4

Voltando à variável x com t=ln x, concluímos
integral dxxl(4+(ln x)^2r) = 12arctan!l(tfracln x2r) + C

Resposta

12arctan!l(tfracln x2r) + C

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