Calcule a integral indefinida:
integral raizx^2-a^2 d x, a in R^*

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral raizx^2-a^2;dx,
onde ainR^*.
Esse é um problema de integração que costuma ser resolvido com substituição hiperbólica ou trigonométrica, pois vimos que raizx^2-a^2 sugere a identidade cosh^2u-1=sinh^2u.

Passo 2

Fazemos a substituição hiperbólica
x = acosh u,
de onde
dx = a,sinh u;du, raizx^2-a^2 = raiza^2cosh^2u - a^2 = a,sinh u
Assim a integral fica
integral raizx^2-a^2;dx = integral l(a,sinh ur)l(a,sinh u;dur) = a^2integral sinh^2u;du

Passo 3

Para calcular integralsinh^2u,du, usamos a identidade
sinh^2u = tfraccosh(2u)-12. Logo,
integral sinh^2u;du = integral cosh(2u)-12;du = 12integral cosh(2u);du ;-;12integral du = 14sinh(2u) - u2 + C
Multiplicando por a^2, a integral vale
a^2l(sinh(2u)4 - u2r) + C

Passo 4

Voltemos à variável x. Primeiro,
sinh(2u) = 2sinh u,cosh u = 2raizx^2-a^2a,xa = 2xraizx^2-a^2a^2
Além disso,
u = arcosh!l(tfracxar) = ln!l(x + raizx^2-a^2ar)
Substituindo em a^2l(tfracsinh(2u)4-tfracu2r), obtemos
a^24cdot2xraizx^2-a^2a^2 ;-;a^22ln!l(tfracx + raizx^2-a^2ar) = x2raizx^2-a^2 - a^22ln!l(x + raizx^2-a^2ar)

Passo 5

Observando que -tfraca^22ln a é constante e pode ser absorvida em C, reescrevemos
- a^22ln!l(x + raizx^2-a^2ar) = -a^22lnl|x + raizx^2-a^2r| + const
Assim chegamos à forma final.

Resposta

integral raizx^2-a^2;dx = x2raizx^2-a^2 - a^22lnl|x + raizx^2-a^2r| + C

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