Resolva as integrais indefinidas elementares que contém um t abaixo.
integral x+3x^2-2 x-5 d x

Passo 1

Resumindo: queremos calcular
integral x+3x^2-2x-5,dx
Este é um caso de integral de função racional com grau do numerador menor que o do denominador. Vamos primeiro decompor o numerador em parte proporcional à derivada do denominador mais uma constante, e em seguida integrar as duas parcelas resultantes.

Passo 2

Procuramos constantes A e B tais que
x+3 = A,(2x-2) + B
Igualando coeficientes em x+3 = 2Ax - 2A + B obtemos
2A = 1 implies A = tfrac12, -2A + B = 3 implies -1 + B = 3 implies B = 4
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x+3x^2-2x-5 = tfrac12(2x-2) + 4x^2-2x-5 = tfrac12cdot2x-2x^2-2x-5 ;+; 4cdot1x^2-2x-5

Passo 3

A primeira parcela integra-se pela regra do logaritmo:
integral tfrac12cdot2x-2x^2-2x-5,dx = tfrac12 lnl|x^2-2x-5r| + C1

Passo 4

Para a segunda parcela, completamos o quadrado no denominador:
x^2-2x-5 = (x-1)^2 - 6
Então
integral 4x^2-2x-5,dx = 4 integral 1(x-1)^2 - (raiz6)^2,dx
Usando
integral duu^2 - a^2 = 12alnl|u-au+ar|,
com u = x-1 e a = raiz6, segue
4 cdot 12raiz6 lnl|x-1-raiz6x-1+raiz6r| = 2raiz6lnl|x-1-raiz6x-1+raiz6r| + C2

Passo 5

Somando as duas partes e reunindo as constantes de integração em C, a primitiva geral é
integral x+3x^2-2x-5,dx = tfrac12 lnl|x^2-2x-5r| + 2raiz6lnl|x-1-raiz6x-1+raiz6r| + C

Resposta

integral x+3x^2-2x-5,dx = 12 lnl|x^2-2x-5r| + 2raiz6lnl|x-1-raiz6x-1+raiz6r| + C

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