Resolva as integrais indefinidas elementares que contém um t abaixo.
integral (x-1)^2x^2+3 x+4 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral (x-1)^2x^2+3x+4,dx
Este é um caso de integração de função racional. Vamos usar divisão de polinômios, completar quadrado no denominador e decompor em termos que geram logaritmo e arco-tangente.

Passo 2

Fazendo divisão de polinômios, escrevemos o numerador como
(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1 = l(x^2+3x+4r) - (5x+3)
Logo
(x-1)^2x^2+3x+4 = 1 - 5x+3x^2+3x+4
e
integral (x-1)^2x^2+3x+4,dx = integral 1,dx ;-;integral 5x+3x^2+3x+4,dx

Passo 3

Para integrar integral 5x+3x^2+3x+4,dx, completamos o quadrado no denominador:
x^2+3x+4 = l(x+tfrac32r)^2 + tfrac74
Fazemos a troca de variável
u = x+tfrac32, du = dx
Então 5x+3 = 5(u-tfrac32)+3 = 5u - tfrac92 e o integral vira
integral 5u - tfrac92u^2 + tfrac74,du

Passo 4

Separamos em duas parcelas:
integral 5uu^2+tfrac74,du ;-; 92integral 1u^2+tfrac74,du
Usamos as fórmulas
integral uu^2+a^2,du = 12lnl(u^2+a^2r), integral 1u^2+a^2,du = 1aarctan!l(tfracuar)
Aqui a^2=tfrac74, ou seja a=tfracraiz72. Então
integral 5uu^2+tfrac74,du = 52lnl(u^2+tfrac74r),
92integral 1u^2+tfrac74,du = 92cdot 2raiz7,arctan!l(tfracuar) = 9raiz7arctan!l(tfrac2uraiz7r)
Logo
integral 5x+3x^2+3x+4,dx = 52lnl(u^2+tfrac74r) - 9raiz7arctan!l(tfrac2uraiz7r)

Passo 5

Voltando a x, lembrando que u=x+tfrac32 e que
u^2+tfrac74 = x^2+3x+4, tfrac2uraiz7 = 2x+3raiz7,
temos
integral (x-1)^2x^2+3x+4,dx = x - gl[52lnl(x^2+3x+4r) - 9raiz7arctan!l(tfrac2x+3raiz7r)gr] + C
Distribuindo o sinal:
= x - 52lnl(x^2+3x+4r) + 9raiz7arctan!l(tfrac2x+3raiz7r) + C

Resposta

boxed integral (x-1)^2x^2+3x+4,dx = x - 52lnl(x^2+3x+4r) + 9raiz7arctan!l(2x+3raiz7r) + C

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