Calcule a integral indefinida.
integral(t sen t 1+j) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa calcular uma integral indefinida que envolve funções vetoriais. O conteúdo principal aqui é a integração de funções vetoriais. Para resolver, vamos precisar lembrar como integrar cada componente das funções vetoriais separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a integral que temos:
integral(t sen t 1+j) , dt
Aqui, temos duas partes dentro da integral:
  1. t sen t 1
  2. j
Cada uma dessas partes é um vetor, e para integrar um vetor, a gente integra cada componente separadamente.

Passo 3

Vamos lembrar que a integral de um vetor é calculada integrando cada uma das suas componentes. Ou seja:
integral ( A 1 + B j ) dt = ( integral A , dt ) 1 + ( integral B , dt ) j + C
Onde A e B são funções de t, e C é o vetor constante de integração.

Passo 4

Aplicando isso à nossa integral:
integral(t sen t 1+j) , dt = ( integral t sen t , dt ) 1 + ( integral 1 , dt ) j + C
Aqui, integrando o segundo termo, integral 1 , dt, é bem direto.

Passo 5

Vamos começar integrando integral t sen t , dt. Para isso, usamos a técnica de integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Escolhemos:
  • u = t du = dt
  • dv = sen t , dt v = -cos t

Passo 6

Aplicando a fórmula:
integral t sen t , dt = -t cos t + integral cos t , dt
Agora, integramos cos t:
integral cos t , dt = sen t
Então:
integral t sen t , dt = -t cos t + sen t

Passo 7

Agora, integramos o segundo termo da nossa integral original:
integral 1 , dt = t

Passo 8

Juntando tudo, temos:
integral(t sen t 1+j) , dt = (-t cos t + sen t) 1 + t j + C

Resposta

A integral indefinida é:
(-t cos t + sen t) 1 + t j + C

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