Calcule a integral indefinida.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa calcular uma integral indefinida que envolve funções vetoriais. O conteúdo principal aqui é a integração de funções vetoriais. Para resolver, vamos precisar lembrar como integrar cada componente das funções vetoriais separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a integral que temos:
Aqui, temos duas partes dentro da integral:
Cada uma dessas partes é um vetor, e para integrar um vetor, a gente integra cada componente separadamente.
Passo 3
Vamos lembrar que a integral de um vetor é calculada integrando cada uma das suas componentes. Ou seja:
Onde
e
são funções de
, e
é o vetor constante de integração.
Passo 4
Aplicando isso à nossa integral:
Aqui, integrando o segundo termo,
, é bem direto.
Passo 5
Vamos começar integrando
. Para isso, usamos a técnica de integração por partes. A fórmula é:
Escolhemos:
-
⇒ -
⇒
Passo 6
Aplicando a fórmula:
Agora, integramos
:
Então:
Passo 7
Agora, integramos o segundo termo da nossa integral original:
Passo 8
Juntando tudo, temos:
Resposta
A integral indefinida é: