Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície
; ou seja, calcule o fluxo de
através de
. com
S é a superfície da caixa delimitada pelos planos coordenados e pelos planos
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa usar o Teorema do Divergente pra calcular a integral de superfície
. Isso significa que vamos descobrir o fluxo do campo vetorial
passando pela superfície
da caixa delimitada pelos planos coordenados e pelas planos
,
,
. Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema do Divergente, calcular a divergente de
e integrar isso no volume da caixa.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema do Divergente. Esse teorema relaciona a integral de superfície de um campo vetorial a integral tripla da divergente desse campo no volume limitado pela superfície. Em fórmula:
Ou seja, ao invés de calcular a integral na superfície, que pode ser complicado, a gente calcula a divergente de
e integra isso dentro do volume
da caixa.
Passo 3
Vamos calcular a divergente de
. A divergente de um campo vetorial
é dada por:
No nosso caso,
, então:
Vamos calcular cada derivada parcial:
Então,
Passo 4
Agora, vamos integrar essa divergente sobre o volume da caixa. A caixa está limitada por
,
e
. A integral tripla fica:
Vamos resolver a integral por partes, começando por
:
- Integração em
:
- Agora, integração em
:
Multiplicando pela constante e a parte que depende de
:
- Finalmente, integração em
:
Resposta
O fluxo de
através de
é
.