Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície integral duplaS F cdot d S; ou seja, calcule o fluxo de F através de S. com
F(x, y, z)=x y e^z i+x y^2 z^3 j-y e^z k
S é a superfície da caixa delimitada pelos planos coordenados e pelos planos x=3, y=2, z=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa usar o Teorema do Divergente pra calcular a integral de superfície integral duplaS F cdot dS. Isso significa que vamos descobrir o fluxo do campo vetorial F passando pela superfície S da caixa delimitada pelos planos coordenados e pelas planos x=3, y=2, z=1. Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema do Divergente, calcular a divergente de F e integrar isso no volume da caixa.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema do Divergente. Esse teorema relaciona a integral de superfície de um campo vetorial a integral tripla da divergente desse campo no volume limitado pela superfície. Em fórmula:
integral duplaS F cdot dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
Ou seja, ao invés de calcular a integral na superfície, que pode ser complicado, a gente calcula a divergente de F e integra isso dentro do volume V da caixa.

Passo 3

Vamos calcular a divergente de F. A divergente de um campo vetorial F = P i + Q j + R k é dada por:
nabla cdot F = partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z
No nosso caso, F(x, y, z) = x y e^z i + x y^2 z^3 j - y e^z k, então:
  • P = x y e^z
  • Q = x y^2 z^3
  • R = -y e^z
Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. partial Ppartial x = y e^z
  2. partial Qpartial y = 2 x y z^3
  3. partial Rpartial z = -y e^z
Então,
nabla cdot F = y e^z + 2 x y z^3 - y e^z = 2 x y z^3

Passo 4

Agora, vamos integrar essa divergente sobre o volume da caixa. A caixa está limitada por 0 <= x <= 3, 0 <= y <= 2 e 0 <= z <= 1. A integral tripla fica:
integral triplaV 2 x y z^3 , dV = 2 integral0^3 integral0^2 integral0^1 x y z^3 , dz , dy , dx
Vamos resolver a integral por partes, começando por z:
  1. Integração em z:
integral0^1 z^3 , dz = [ z^44 ]0^1 = 14
  1. Agora, integração em y:
Multiplicando pela constante e a parte que depende de y:
2 integral0^3 x ( integral0^2 y cdot 14 , dy ) , dx = 24 integral0^3 x ( integral0^2 y , dy ) , dx = 12 integral0^3 x [ y^22 ]0^2 , dx = 12 integral0^3 x cdot 2 , dx = integral0^3 x , dx
  1. Finalmente, integração em x:
integral0^3 x , dx = [ x^22 ]0^3 = 92

Resposta

O fluxo de F através de S é 92.

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