Determine a derivada parcial partial^3 gpartial r partial s partial t para a função g(r, s, t)=e^r sen(s t).

Passo 1

O enunciado pede a derivada parcial terceira
partial^3gpartial r,partial s,partial t
da função
g(r,s,t)=e^rsin(st)
O conteúdo envolvido é derivadas parciais de função de várias variáveis, usando a regra do produto e a regra da cadeia. Vamos diferenciar na ordem t, depois s e finalmente r.

Passo 2

Primeiro calculemos
partial gpartial t.
Como e^r é constante em relação a t e
sin(st) deriva para cos(st)cdotpartial(st)partial t=cos(st),s, temos
partial gpartial t = e^r,l(cos(st),sr) = e^r,s,cos(st)

Passo 3

Agora obtemos
partial^2gpartial s,partial t =partialpartial sl(e^r,s,cos(st)r).
Aqui e^r é constante em relação a s, então aplicamos a regra do produto em scdotcos(st):
  • derivada de s é 1, multiplicando por cos(st);
  • mais s vezes a derivada de cos(st), que é -sin(st)cdot t.
    Logo
partial^2gpartial s,partial t = e^rl[cos(st) ;+; scdot(-sin(st),t)r] = e^rl[cos(st) - st,sin(st)r]

Passo 4

Finalmente,
partial^3gpartial r,partial s,partial t =partialpartial rl(e^r[cos(st)-stsin(st)]r)
Como o colchete não depende de r, basta derivar e^r, que retorna e^r. Assim
partial^3gpartial r,partial s,partial t = e^rl[cos(st) - st,sin(st)r]

Resposta

partial^3gpartial r,partial s,partial t = e^rl[cos(st) - st,sin(st)r]

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