Verifique se as funções abaixo são contínuas ou não.

Passo 1

O enunciado pede para testar a continuidade da função de duas variáveis
f(x,y)=2x^2yx^2+y^2&se (x,y)neq(0,0),0&se (x,y)=(0,0),
Ou seja, estamos vendo continuidade de funções de várias variáveis e precisamos checar dois tipos de pontos: qualquer ponto diferente da origem e o próprio ponto (0,0).

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0) a função é uma razão de polinômios em que o denominador x^2+y^2 é diferente de zero. Por teoria de análise em várias variáveis, qualquer função composta por soma, produto e quociente (com denominador não nulo) é contínua. Logo, f é contínua em todo ponto (x,y)neq(0,0).

Passo 3

Para estudar a continuidade em (0,0) precisamos verificar se
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=0
Usamos uma estimativa em coordenadas gerais: seja r=raizx^2+y^2. Então
|f(x,y)|=|2x^2yx^2+y^2|<=2x^2,|y|x^2+y^2
Como |y|<= r e x^2<= r^2, temos
|f(x,y)|<=2r^2cdot rr^2=2r
Quando (x,y)to(0,0), então rto0 e segue que |f(x,y)|<=2rto0. Pelo teorema do confronto,
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0=f(0,0)

Passo 4

Portanto f é contínua também em (0,0).

Resposta

A função é contínua em todo R^2.

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