Verifique se as funções abaixo são contínuas ou não.
Passo 1
O enunciado pede para testar a continuidade da função de duas variáveis
Ou seja, estamos vendo continuidade de funções de várias variáveis e precisamos checar dois tipos de pontos: qualquer ponto diferente da origem e o próprio ponto .
Passo 2
Para a função é uma razão de polinômios em que o denominador é diferente de zero. Por teoria de análise em várias variáveis, qualquer função composta por soma, produto e quociente (com denominador não nulo) é contínua. Logo, é contínua em todo ponto .
Passo 3
Para estudar a continuidade em precisamos verificar se
Usamos uma estimativa em coordenadas gerais: seja . Então
Como |y|<= r e x^2<= r^2, temos
|f(x,y)|<=2r^2cdot rr^2=2r
Quando (x,y)to(0,0), então rto0 e segue que |f(x,y)|<=2rto0. Pelo teorema do confronto,