Calcule a integral indefinida.
integral0^1(e^2 t i+e^-t j+t k) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de uma função vetorial no intervalo [0,1]:
integral0^1l(e^2t,i + e^-t,j + t,kr),dt
Aqui o conteúdo é integração de funções vetoriais, que consiste em integrar cada componente separadamente usando as regras de integração clássicas.

Passo 2

Separamos a integral em três integrais escalares, uma para cada componente:
integral0^1e^2t,dt;i, integral0^1e^-t,dt;j, integral0^1t,dt;k

Passo 3

Para a componente i, usamos
integral e^2t,dt = e^2t2,
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integral0^1e^2t,dt = [e^2t2]0^1 = e^2-12

Passo 4

Para a componente j, usamos
integral e^-t,dt = -,e^-t,
portanto
integral0^1e^-t,dt = [-e^-t]0^1 = l(-e^-1r)-l(-e^0r) =1 - e^-1

Passo 5

Para a componente k, temos
integral t,dt = t^22,
então
integral0^1t,dt = [t^22]0^1 = 12

Passo 6

Somando as três componentes, obtemos
integral0^1l(e^2ti + e^-tj + tkr),dt = e^2-12,i + l(1-e^-1r),j + 12,k

Resposta

boxed e^2-12,i + l(1-e^-1r),j + 12,k

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