ldydt+t y=-1, y(1)=0
Resolva analiticamente cada um dos PVIs.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial (PVI)
dfracdydt + t,y = -1, y(1)=0
Isso é uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante mu(t) como
mu(t) = expl(integral t,dtr) = expl(tfract^22r)
Multiplicando a equação original por mu(t), obtemos
expl(tfract^22r),dydt ;+; t,expl(tfract^22r),y ;=;-,expl(tfract^22r)

Passo 3

O lado esquerdo acima é exatamente a derivada do produto y(t),exp(t^2/2). Logo,
ddtl[y(t),expl(tfract^22r)r] = -,expl(tfract^22r)
Integrando ambos os lados de t=1 até t, temos
y(t),expl(tfract^22r) - y(1),expl(tfrac1^22r) = -integral1^texpl(tfracs^22r),ds

Passo 4

Usamos a condição inicial y(1)=0. Assim o termo y(1),exp(1^2/2) some, ficando
y(t),expl(tfract^22r) = -integral1^texpl(tfracs^22r),ds
Isolando y(t), obtemos a solução geral do PVI.

Passo 5

Portanto a solução do PVI é
y(t) = -,expl(-tfract^22r), integral1^texpl(tfracs^22r),ds

Resposta

y(t) = -,e^-,t^2/2integral1^te^,s^2/2,ds

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