ldydt-y=1-e^t, y(0)=0
Esboce membros da família das curvas integrais dessas EDOs sem resolvê-las.

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos a equação diferencial linear de primeira ordem
dydt-y=1-e^t,
e queremos desenhar, sem resolver explicitamente, algumas curvas integrais no plano (t,y). Vamos usar para isso o campo de declives (slope field), encontrando isoclinas e regiões onde dy/dt é positivo ou negativo.

Passo 2

Colocando a EDO em forma de declive, temos
dydt=y+1-e^t
Para cada valor constante k, a isoclina de declive k é dada por
y+1-e^t=k Longrightarrow y=e^t-1+k
Em particular, a isoclina de declive zero ( k=0) é
y=e^t-1,
onde as tangentes às soluções são horizontais.

Passo 3

Analisando o sinal de dydt:
  • Se y>e^t-1, então y+1-e^t>0, logo as curvas integrais estão subindo.
  • Se y<e^t-1, então y+1-e^t<0, logo as curvas integrais estão descendo.
Portanto, ao desenhar a curva y=e^t-1 como fronteira, à sua região superior as soluções crescem e à sua região inferior as soluções decrescem.

Passo 4

Para entender o comportamento nas extremidades:
1. Quando tto -infty, e^tto0 e a isoclina y=e^t-1to -1. Nessa região o campo de declives tende a
dydtapprox y+1,
cuja solução tende a estabilizar-se em y=-1. Logo as curvas integrais aproximam-se de uma reta horizontal y=-1 à esquerda.
2. Quando tto +infty, e^t cresce rapidamente, e para a próxima das soluções temos dydtapprox y-e^t. Em geral as soluções acabam descendo fortemente, indo para -infty se ficarem abaixo da isoclina.

Passo 5

Esboço das curvas integrais:
1. Trace a curva de isoclina y=e^t-1, que passa por (0,0) e é crescente e convexa.
2. Em pontos acima dessa curva desenhe pequenos segmentos com declive positivo; abaixo, com declive negativo; sobre ela, segmentos horizontais.
3. Escolha alguns valores de condição inicial em t=0, por exemplo y(0)=-2,-1,0,1, e desenhe as trajetórias que à esquerda se aproximam de y=-1 e à direita curvam-se seguindo o campo de declives (subida até cruzar a isoclina e depois descida acentuada).
4. Repita para várias constantes de integração, obtendo uma família de curvas que se espalham em torno da particular que passa por (0,0).

Resposta

No plano (t,y), o esboço deve mostrar:
isoclina: y = e^t - 1,
com segmentos horizontais sobre ela, segmentos ascendentes acima e descendentes abaixo. A família de curvas integrais parte se aproximando de y = -1 quando t to -infty, sobe ao cruzar a isoclina e, para t to +infty, tende a cair rapidamente para -infty. Desenhe várias dessas trajetórias, cada uma correspondente a uma constante de integração diferente (v.g.\ y(0) = C com C = -2, -1, 0, 1, dots).

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