ldydt-y=1-e^t, y(0)=0
Resolva analiticamente cada um dos PVIs.

Passo 1

O enunciado nos dá um problema de valor inicial para uma equação diferencial linear de primeira ordem:
dydt - y = 1 - e^t,
com condição inicial
y(0)=0
O conteúdo usado será o método do fator integrante para ODE linear de 1ª ordem.

Passo 2

Calculamos o fator integrante mu(t) como
mu(t) = e^integral (-1),dt = e^-t

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(t):
e^-tdydt - e^-ty = e^-t(1 - e^t) = e^-t - 1
O lado esquerdo é a derivada do produto e^-ty, ou seja,
ddt(e^-ty) = e^-t - 1

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t:
integral ddt(e^-ty),dt = integral (e^-t - 1),dt Longrightarrow e^-ty = -e^-t - t + C

Passo 5

Usamos a condição y(0)=0 para achar C:
e^0cdot 0 = -e^0 - 0 + C Longrightarrow 0 = -1 + C Longrightarrow C = 1

Passo 6

Substituímos C=1 e isolamos y:
e^-ty = -e^-t - t + 1 Longrightarrow y = l(-e^-t - t + 1r)e^t = -1 - t,e^t + e^t = (1 - t)e^t - 1

Resposta

y(t) = (1 - t)e^t - 1

Exercícios relacionados