ldydt+t y=-1, y(1)=0
Esboce membros da família das curvas integrais dessas EDOs sem resolvê-las.

Passo 1

O enunciado apresenta a EDO linear de 1ª ordem
dydt + t,y = -1,
com condição inicial y(1)=0.
Queremos esboçar o campo de direções e alguns traços das curvas integrais sem resolver explicitamente a EDO.

Passo 2

Reescrevemos a inclinação do campo de direções em cada ponto (t,y):
dydt = -1 ;-; t,y
Em cada ponto do plano (t,y) desenhamos um pequeno segmento de reta de coeficiente angular -1 - t,y.

Passo 3

Para organizar o esboço introduzimos as isoclinas (lugares geométricos de tangentes de mesma inclinação m):
-1 - t,y = m Longrightarrow y = -m+1t
Cada escolha de m dá uma hipérbole y=-(m+1)/t onde todas as tangentes têm inclinação m.

Passo 4

Em especial, a isoclina de tangentes horizontais ( m=0) é
y = -1t
  • Para pontos acima desta curva (isto é, y > -1/t com t>0) temos dydt=-1-ty<0: as soluções descem.
  • Para pontos abaixo de y=-1/t temos dydt>0: as soluções sobem.

Resposta

Agora, a partir do ponto inicial (1,0):
  • Em (1,0) a inclinação é -1 - 1cdot0=-1, logo o traço sai de (1,0) descendo.
  • À medida que a curva aproxima-se da hipérbole y=-1/t, sua inclinação tende a zero e ela “flutua” paralela ao eixo t.
  • Para tto+infty (e também para tto-infty) cada curva integral se aproxima assintoticamente de y=-1/t.
Resposta:
O esboço qualitativo é o seguinte (eixo horizontal t, vertical y):
  1. Desenhe a hipérbole de tangentes horizontais y = -1t
  2. Acima dela (região y>-1/t) trace setas com declive negativo; abaixo dela declive positivo.
  3. A curva que satisfaz y(1)=0 sai de (1,0) com inclinação -1, desce suavemente, cruza a hipérbole com tangente horizontal e se aproxima cada vez mais de y=-1/t para grandes |t|.
Esse conjunto de traços forma a família das curvas integrais pedida, sem exigir a resolução explícita da EDO.

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