Calcule a integral indefinida.
.

Passo 1

O problema pede para calcular integrall(3+x^21+x^2+x^2x^3r),dx. O conteúdo é integração de somas de funções racionais, usando decomposição em parcelas simples e integrais conhecidas (logaritmo e função arco-tangente).

Passo 2

Primeiro, simplificamos a segunda fração: x^2x^3 = x^-1 = 1x. Assim o integrando fica
3+x^21+x^2 + 1x
Em seguida, decompondo a primeira fração temos
3+x^21+x^2 = 31+x^2 + x^21+x^2
E ainda
x^21+x^2 = 1 - 11+x^2
Logo o integrando se transforma em
1 + 1x + 21+x^2

Passo 3

Agora integramos termo a termo:
integral1,dx = x + C1
integral1x,dx = ln|x| + C2
integral21+x^2,dx = 2arctan(x) + C3
Podemos agrupar as constantes numa só.

Passo 4

Somando as primitivas e reunindo a constante em C, obtemos a primitiva geral
x + ln|x| + 2arctan(x) + C

Resposta

x + \ln|x| + 2\arctan(x) + C

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