Usando a definição formal do limite de uma função, calcule :
lim x +infty 1x e lim x x0 1x para x0 in R

Passo 1

O enunciado pede para usarmos a definição formal de limite (epsilon-delta para limites finitos e epsilon-N para limites no infinito) para calcular duas coisas: limxto+infty 1x e limxto x0 1x para um ponto x0in R. Vamos precisar da definição de limite no infinito (para provar que 1/xto0) e da definição clássica de limite para ponto finito (para provar que 1/xto1/x0 quando x0neq0, e discutir o caso x0=0).

Passo 2

Definindo L=0, queremos mostrar que para todo varepsilon>0 existe N>0 tal que se x>N então l|1/x-0r|. Observamos que |1/x|=1/x quando x>0, então basta fazer 1/x levando a x>1/varepsilon. Logo, escolhendo N=1/varepsilon temos a prova de que limxto+infty1/x=0.

Passo 3

Para xto x0 com x0neq0, definimos L=1/x0. A ideia é usar a desigualdade\n l|1/x - 1/x0r| = |x-x0||x,x0| Para controlar o denominador, restringimos x a um intervalo em torno de x0: escolhemos de de forma que |x-x0| implique |x|>|x0|/2. Com isso, sempre que |x-x0| temos |x,x0|> |x0|^2/2. Então
l|tfrac1x - tfrac1x0r| = |x-x0||x,x0| < |x-x0||x0|^2/2 = 2|x0|^2,|x-x0|

Passo 4

Para garantir que isso fique abaixo de varepsilon, basta exigir 2|x0|^2|x-x0|, ou seja |x-x0|<|x0|^22,varepsilon. Finalmente, tomamos
de Assim demonstramos que limxto x01/x = 1/x0 sempre que x0neq0. No caso x0=0, a função 1/x não se aproxima de valor finito nem de +infty ou -infty de modo único, logo o limite não existe.

Resposta

limxto+infty tfrac1x = 0. \ limxto x0 tfrac1x = tfrac1x0 se x0neq0, e não existe se x0=0.

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