Usando a definição formal do limite de uma função, calcule : e para
Passo 1
O enunciado pede para usarmos a definição formal de limite (epsilon-delta para limites finitos e epsilon-N para limites no infinito) para calcular duas coisas: e para um ponto . Vamos precisar da definição de limite no infinito (para provar que ) e da definição clássica de limite para ponto finito (para provar que quando , e discutir o caso ).
Passo 2
Definindo , queremos mostrar que para todo existe tal que se então . Observamos que |1/x|=1/x quando x>0, então basta fazer 1/x levando a x>1/varepsilon. Logo, escolhendo N=1/varepsilon temos a prova de que limxto+infty1/x=0.
Passo 3
Para xto x0 com x0neq0, definimos L=1/x0. A ideia é usar a desigualdade\nl|1/x - 1/x0r| = |x-x0||x,x0| Para controlar o denominador, restringimos x a um intervalo em torno de x0: escolhemos de de forma que |x-x0| implique |x|>|x0|/2. Com isso, sempre que |x-x0| temos |x,x0|> |x0|^2/2. Então
Para garantir que isso fique abaixo de varepsilon, basta exigir 2|x0|^2|x-x0|, ou seja |x-x0|<|x0|^22,varepsilon. Finalmente, tomamos
de Assim demonstramos que limxto x01/x = 1/x0 sempre que x0neq0. No caso x0=0, a função 1/x não se aproxima de valor finito nem de +infty ou -infty de modo único, logo o limite não existe.
Resposta
limxto+infty tfrac1x = 0. \ limxto x0 tfrac1x = tfrac1x0 se x0neq0, e não existe se x0=0.